北京市第五十七中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2025-10-26 类型：月考试卷

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一、选择题：每题4分，共计40分.

1. 设 $i$ 为虚数单位，则在复平面内，复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 已知 $A = \{x |{log}_{2} (x - 1) \leq 1\}$ ， $B = \{x ||x - 3| > 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、空集 B、 $\{x |x \leq 3$ 或 $x > 5\}$ C、 $\{x |x \leq 3$ 或 $x > 5$ 且 $x \neq 1\}$ D、以上都不对

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3. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{a} + \vec{b}| > 1$ ，则 $θ$ 的取值范围为（）

A、 $[0, \frac{π}{3})$ B、 $[0, \frac{2 π}{3})$ C、 $(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})$ D、 $(\frac{2 π}{3}, π)$

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4. 数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，公比 $q > 1$ ，且 $a_{5} = b_{5}$ ，则

A、 $a_{3} + a_{7} > b_{4} + b_{6}$ B、 $a_{3} + a_{7} \geq b_{4} + b_{6}$ C、 $a_{3} + a_{7} < b_{4} + b_{6}$ D、 $a_{3} + a_{7} = b_{4} + b_{6}$

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5. 设 $a = \log_{0.2} 0.3$ ， $b = \log_{2} 0.3$ ，则（）

A、 $a + b < a b < 0$ B、 $a b < a + b < 0$ C、 $a + b < 0 < a b$ D、 $a b < 0 < a + b$

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6. 已知函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) - 2 sin (x + \frac{π}{4}) cos (x + \frac{π}{4}) (x \in R)$ ，现给出下列四个命题，
①函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$
②函数 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$
③函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上单调递增
④将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度，得到的函数解析式为 $g (x) = \sqrt{3} cos 2 x$
其中，所有正确结论的序号是（）

A、①② B、②④ C、①④ D、③④

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7. 小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）

A、840mm，594mm B、840mm，588mm C、594mm，420mm D、588mm，420mm

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8. 已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零平面向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} < {\vec{a}}^{2}$ ”是“ $|\vec{b}| < |\vec{a}|$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项的乘积为 $T_{n}$ ．若 $a_{1} a_{2} < a_{2} a_{3} < 0$ ，则（）

A、 $S_{n}$ 无最小值， $T_{n}$ 无最大值 B、 $S_{n}$ 有最小值， $T_{n}$ 无最大值 C、 $S_{n}$ 无最小值， $T_{n}$ 有最大值 D、 $S_{n}$ 有最小值， $T_{n}$ 有最大值

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10. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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二、填空题：每题5分，共计25分.

11. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2^{x - 1}, x < 1 \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ ，则使得 $f (x) \leq 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是.

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $b - c = \frac{1}{4} a$ ， $2 \sin B = 3 \sin C$ ，则 $\frac{b}{c} =$ ， $\cos A$ 的值为．

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13. 在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4$ ， $a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2026} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = \sqrt{5}$ ， $A B = 4$ ，点 $M$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点且 $\vec{A M} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{C M}$ 的最小值为.

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15. 已知非空数集 $I, P$ 满足：
（i） $\forall x \in I$ ，有 $x \in P$ ；
（ii） $\forall x, y \in I$ ，有 $x + y \in I$ ；
（iii） $\forall x \in I$ 且 $\forall y \in P$ ，有 $x y \in I$ ，
则称 $I$ 是 $P$ 的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若 $I = \{2 k |k \in Z\}$ ，则 $I$ 是 $Z$ 的“理想子集”；
②若 $I$ 是 $R$ 的“理想子集”，且存在非零实数 $a \in I$ ，则 $I = R$ ；
③若 $I_{1}, I_{2}$ 是 $P$ 的“理想子集”，则 $I_{1} \cup I_{2}$ 也是 $P$ 的“理想子集”；
④若 $I_{1}, I_{2}$ 是 $P$ 的“理想子集”，则 $I_{1} \cap I_{2}$ 也是 $P$ 的“理想子集”．
其中正确结论的序号是．

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三、解答题：6道试题，总分85分.

16. 数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = 2 a_{n + 1}$ ， $n = 1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的值；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设 $T_{n} = a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2 n}$ ，求 $T_{n}$ 的表达式.

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17. 已知函数 $f (x) = a \sin ω x \cos ω x (a > 0, ω > 0)$ ．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数 $f (x)$ 存在且唯一确定．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 2 \cos^{2} ω x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(0, π)$ 上的单调递增区间．
条件①： $f (\frac{π}{4}) = 1$ ；
条件②： $f (x)$ 为偶函数；
条件③： $f (x)$ 的最大值为1；
条件④： $f (x)$ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 若△ $A B C$ 同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：

(1)、求边 $a$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 的面积.
条件①： $a \cos A = b \sin A$ ；
条件②： $b = a + 2$ ；
条件③： $\sin C = \frac{1}{2}$ ；
条件④： $c^{2} \cdot \cos C = - 10 \sqrt{3} - 12$ .
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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20. 已知函数 $f (x) = a (x - 1) e^{x} - ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线经过点 $(2, 2)$ ，求 $a$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 存在极小值；

(3)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的最大值．

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21. 已知有穷正整数数列 $A_{n} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} (n \in N^{*}, n \geq 4)$ 满足： $a_{i} \in \{1, 2, \dots, n\}$ ，且当 $i \neq j (i, j \in N^{*}, 1 \leq i, j$ $\leq n)$ 时，总有 $a_{i} \neq a_{j}$ ．定义数列 $A_{n}^{*} : a_{1}^{*}, a_{2}^{*}, \dots, a_{n}^{*}$ ，其中 $a_{1}^{*} = a_{1}$ ， $a_{k}^{*} = \{\begin{array}{l} a_{k} - a_{k - 1}^{*}, a_{k - 1}^{*} < a_{k}, \\ a_{k} + a_{k - 1}^{*}, a_{k - 1}^{*} \geq a_{k}, \end{array} (k = 2, 3, \dots, n)$ ．当 $a_{n}^{*} = m$ 时，称数列 $A_{n}$ 具有性质 $P (m)$ ．

(1)、判断下列数列是否具有性质 $P (1)$ ；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．

(2)、已知数列 $A_{8}$ 具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的最小值；

(3)、是否存在数列 $A_{n}$ 具有性质 $P (\frac{n (n + 1)}{2})$ ，且 $a_{1}^{*} + a_{2}^{*} + \dots + a_{n}^{*} = 2025$ ？若存在，请找到使 $n$ 最小的一个数列 $A_{n}$ ；若不存在，请说明理由．

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