北师大版数学九年级第一学期期中检测B卷[范围：1-5章]

试卷更新日期：2025-11-02 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，配方后得到的方程是（）

A、 ${(x + 6)}^{2} = 28$ B、 ${(x - 6)}^{2} = 28$ C、 ${(x + 3)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 3)}^{2} = 1$

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 2 x = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 如图，菱形 $A B C D$ 的面积为10，点E ， F ， G ， H分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，则四边形 $E F G H$ 的面积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、5 C、4 D、8

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4. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，下列结论一定正确的是（）

A、 $A C$ 平分 $∠ B A D$ B、 $A B = B C$ C、 $A C = B D$ D、 $A C ⊥ B D$

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5. 如图，有一张矩形纸片 $A B C D .$ 先对折矩形 $A B C D$ ，使 $A D$ 与 $B C$ 重合，得到折痕 $E F$ ，把纸片展平 $.$ 再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $E F$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $B M$ ，同时得到线段 $B N$ ， $M N .$ 观察所得的线段，若 $A E = 1$ ，则 $M N =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2$

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6. 如图，在长为 $12 m$ ，宽为 $10 m$ 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的 $\frac{2}{5}$ ，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为 $x m$ ，则可列方程为（）

A、 $(12 - x) (10 - x) = 12 \times 10 \times \frac{2}{5}$ B、 $(12 - 2 x) (10 - x) = 12 \times 10 \times \frac{2}{5}$ C、 $(12 - x) (10 - 2 x) = 12 \times 10 \times \frac{2}{5}$ D、 $(12 - 2 x) (10 - 2 x) = 12 \times 10 \times \frac{2}{5}$

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7. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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8. 如图，一块面积为60cm²的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A₁B₁C₁ ，若OB：BB₁＝2：3，则△A₁B₁C₁的面积是（　　）

A、90cm² B、135cm² C、150cm² D、375cm²

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9. 如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）

A、6πcm B、9πcm C、12πcm D、16πcm

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二、填空题（每题3分，共18分）

10. 若一元二次方程 $2 x^{2} - 6 x - 1 = 0$ 的两根为 $α, β$ ，则 $2 α^{2} - 3 α + 3 β$ 的值为．

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11. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M ．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N ，连接MN ．则MN的长为．

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12. 如图，在梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ，对角线AC和BD交于点O ，若 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ B C D}} = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{S_{△ A O D}}{S_{△ B O C}} =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D ， E分别在边 $A B, A C$ 上．添加一个条件使 $△ A D E ∽ △ A C B$ ，则这个条件可以是．（写出一种情况即可）

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14. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．

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15. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $B C = 10$ ，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，交边 $B C$ 于点E，连接 $E O$ ，则 $E O =$ ．

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三、解答题（共8题，共72分）

16. 解下列方程

(1)、 $\frac{1}{2} x^{2} + x = \frac{3}{2}$ (配方法)；

(2)、2x²-7x+6=0(公式法).

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17. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 a - 1) x + a^{2} = 0$ 有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} = 6$ ，求 $a$ 的值．

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18. 一只不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同．

(1)、将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是；

(2)、将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）

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19. 如图，在△ABC中，点 $D ， E ， G$ 分别是边 $A B ， A C ， B C$ 的中点， $D E$ 与 $A G$ 相交于点 $F$ ，连接 $C F ， A G = A C$ ．证明：

(1)、 $\frac{A F}{A G} = \frac{D E}{B C}$ ；

(2)、△ADF≌△CFE ．

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20. 如图．在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ．点B ，点D关于 $A C$ 所在直线对称．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、过点D作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 延长线于点E ．若 $C E = 3$ ， $A D = 5$ ，求线段 $O C$ 长．

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21. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．

(1)、求该市参加健身运动人数的年均增长率；

(2)、为支持市民的健身运动，市政府决定从 $A$ 公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．

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22. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=2，AD=1.

(1)、若△ABD是等腰三角形，则BD=

(2)、已知OB=OD，AC=BD.
①若OA=OC，判断四边形ABCD是怎样的特殊四边形，并说明理由；
②如图，在△ACD中，CD²=AD²+AC² ，求AC的长.

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23. 已知点O是正方形ABCD的中心，点P ， E分别是对角线AC ，边BC上的动点（均不与端点重合），作射线PE ．

(1)、将射线PE绕点P逆时针旋转90°，交边CD于点F．
①如图1，当点P与点O重合时，求证：PE＝PF；
②如图2，当 $\frac{A P}{P C} = \frac{1}{2}$ 时，请判断 $\frac{S_{四边形 P E C F}}{S_{正方形 A B C D}}$ 是否为定值．如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；

(2)、如图3，连接BP，当∠BPE＝45°时，将射线PE绕点P顺时针旋转90°，交边AB于点F．若 $\frac{A P}{P C} = k$ ， PE＝a，求四边形PEBF的面积（用含a，k的式子表示）．

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