浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2025-2026学年高二上学期第一次校考数学试卷

试卷更新日期：2025-10-23 类型：月考试卷

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一、选择题Ⅰ：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 直线 $x - \sqrt{3} y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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2. 设z=i(2+i)，则 $\bar{z}$ =（）

A、1+2i B、–1+2i C、1–2i D、–1–2i

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3. 已知直线 $l_{1} : x - y - 1 = 0, l_{2} : x - y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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4. 若向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 2, 0, 1)$ ，则（）

A、 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = - \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$

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5. 甲、乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，密码被成功破译的概率是（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{12}$

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6. “ $a = 1$ ”是“直线 $a x + 2 y - 6 = 0$ 与直线 $x + (a + 1) y + a^{2} - 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知两点 $A (1, - 3)$ ， $B (- 2, 1)$ ，若沿 $y$ 轴将坐标平面折成直二面角，则折叠后 $A$ ， $B$ 两点间的距离是（）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{21}$

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8. 直线 $l_{1} : x + (m + 1) y - 2 m - 2 = 0$ 与直线 $l_{2} : (m + 1) x - y - 2 m - 2 = 0$ 相交于点P，对任意实数m，直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别恒过定点 $A, B$ ，则 $| P A | + | P B |$ 的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、4

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二、选择题Ⅱ：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.部分选对得部分分，错选得0分.

9. 关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{4} \vec{O C}$ ，则 $P$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 四点共面 B、已知两个向量 $\vec{a} = (m, 2, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 4, n)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m + n = 5$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，且 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ D、 $\vec{a} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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10. 对于直线 $l : (m - 1) x + y - 2 m + 3 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、直线 $l$ 恒过点 $(2, - 1)$ B、当 $m = 0$ 时，直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为 $3$ C、已知点 $A (3, 1), B (- 1, 2)$ ，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则 $m$ 的取值范围是 $[0, 3]$ D、坐标原点到直线 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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11. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（）

A、存在点 $M$ ，使得 $C_{1} M ⊥$ 平面 $A_{1} D B$ B、存在点 $M$ ，使得直线 $A M$ 与直线 $B_{1} C$ 所成的角为 $45^{\circ}$ C、存在点 $M$ ，使得三棱锥 $D_{1} - C_{1} D M$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ D、不存在点 $M$ ，使得 $α > β$ ，其中 $α$ 为二面角 $M - A A_{1} - B$ 的大小， $β$ 为直线 $M A_{1}$ 与直线 $A B$ 所成的角

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 若直线 $2 x - t y - 2 = 0 (t \in R)$ 与 $x + 2 y + 3 = 0$ 垂直，则 $t =$ ．

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13. 已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为 $1$ ，动点 $M$ 在面 $A B C$ 上运动，且满足 $\vec{P M} = - \vec{P A} - \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，　则 $\vec{P M} \cdot \vec{A B}$ 的值为.

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14. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A D = A A_{1} = 1$ ．动点P从 $A_{1}$ 出发，在棱 $A_{1} B_{1}$ 上匀速运动；动点Q同时从B出发，在棱BC上匀速运动，P的运动速度是Q的两倍，各自运动到另一端点停止．它们在运动过程中，设直线PQ与平面ABCD所成的角为 $θ$ ，则 $\tan θ$ 的取值范围是．

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四、解答题：本大题共6小题，共72分．写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．

15. 已知直线 $l : a x + 2 y - a - 4 = 0$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、求直线 $l$ 所过定点．

(2)、当直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距是它在 $y$ 轴上的截距 $3$ 倍时，求实数 $a$ 的值．

(3)、若直线 $l$ 不经过第四象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 5$ ， E、F分别为 $D_{1} D$ 、 $B_{1} B$ 上的点，且 $D E = B_{1} F = 1$ ．

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面ACF；

(2)、求点E到平面ACF的距离．

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17. 记 $△ A B C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，已知 $\sqrt{3} sin C = \sqrt{2} cos B ， a^{2} + b^{2} - c^{2} - \sqrt{2} a b = 0$ .

(1)、求角B；

(2)、若 $b + c = \sqrt{2} + 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. △ABC的顶点A的坐标为（1，4），∠B，∠C平分线的方程分别为 $x - 2 y = 0$ 和 $x + y - 1 = 0$ .

(1)、求BC所在直线的方程.

(2)、设 $N (3, - 2)$ ，直线 $l$ 过线段 $A N$ 的中点M且分别交 $x$ 轴与 $y$ 轴的正半轴于点P、Q，O为坐标原点，求△ $P O Q$ 面积最小时直线 $l$ 的方程；.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是梯形，其中 $A B / / C D, ∠ B C D = 60^{°}$ ， $A B = 2 B C = 2 C D = 4$ ，平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P D$ ．

(2)、若 $A B ⊥ P D, M$ 是棱 $P C$ 上的动点，且 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\sqrt{3}$ ．
（i）求二面角 $B - P A - D$ 的余弦值；
（ii）记直线 $B M$ 与平面 $P A D$ 所成角为 $θ$ ，求 $\sin θ$ 的最大值．

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