平面直角坐标系规律题-浙教版数学八年级上册培优训练

试卷更新日期：2025-11-02 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 如图，直线 a⊥b ，在某平面直角坐标系中，x轴 $// a$ ，y轴 $// b$ ，点A的坐标为 $(- 3 ， 2)$ ，点B的坐标为 $(2 ， - 3)$ ，则坐标原点为（）

A、 $O_{1}$ B、 $O_{2}$ C、 $O_{3}$ D、 $O_{4}$

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2. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 OA₁A₂ 的直角边 OA₁ 在 y轴的正半轴上，且 OA₁＝A₁A₂＝1，以 OA₂ 为直角边作第二个等腰直角三角形 OA₂ A₃ ，以 OA₃为直角边作第三个等腰直角三角OA₃A₄ ， …，依此规律，得到等腰直角三角形 OA₂₀₁₇A₂₀₁₈ ，则点 A₂₀₁₇ 的坐标为（）

A、（0，2¹⁰⁰⁸） B、（2¹⁰⁰⁸ ， 0） C、（0，2¹⁰⁰⁷） D、（2¹⁰⁰⁷ ， 0）

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3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A_{1} (0 ， 1)$ ，A₂在x轴的正半轴上，且 $∠ O A_{1} A_{2} ＝ 60 °$ ，过点A₂作 $A_{2} A_{3} ⊥ A_{1} A_{2}$ 交y轴于点A₃；过点A₃作 $A_{3} A_{4} ⊥ A_{2} A_{3}$ 交x轴于点A₄；过点A₄作 $A_{4} A_{5} ⊥ A_{3} A_{4}$ 交y轴于点A₅；过点A₅作 $A_{5} A_{6} ⊥ A_{4} A_{5}$ 交x轴于点A₆；…按此规律进行下去，则点A₂₀₁₉的坐标是（）

A、 $(0 ， - {(\sqrt{3})}^{2018})$ B、 $(- {(\sqrt{3})}^{2019} ， 0)$ C、 $(0 ， {(\sqrt{3})}^{2018})$ D、 $({(\sqrt{3})}^{2019} ， 0)$

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4. 如图，直角坐标系中长方形 $A B C D$ 的四个顶点坐标分别为 $A (- 1, 2)$ ， $B (- 1, - 1)$ ， $C (1, - 1)$ ， $D (1, 2)$ ，点P从点A出发，沿长方形的边顺时针运动，速度为每秒2个长度单位，同时点Q从点A出发，沿长方形的边逆时针运动，速度为每秒3个长度单位，记P，Q在长方形边上第1次相遇时的点为 $M_{1}$ ，第二次相遇时的点为 $M_{2}$ ，第三次相遇时的点为 $M_{3}$ ， ……，则点 $M_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(0, 1)$

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5. 如图，点 $P$ 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 $(1, 1)$ ，第2次接着运动到点 $(2, 0)$ ，第3次接着运动到点 $(3, 2)$ …，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点 $P$ 的坐标是（）

A、 $(2024, 0)$ B、 $(2023, 1)$ C、 $(2025, 2)$ D、 $(2025, 1)$

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6. 如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到 $A_{1} (1, 0)$ ，第2次运动到 $A_{2} (1 ， 1)$ ，第3次运动到 $A_{3} (- 1, 1)$ ，第4次运动到 $A_{4} (- 1, - 1)$ ，第5次运动到 $A_{5} (2, - 1)$ …则第2025次运动到的点 $A_{2025}$ 的坐标是（）

A、 $(507, - 506)$ B、 $(507, 507)$ C、 $(506, - 505)$ D、 $(506, 506)$

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7. 如图，在平面直角坐标系中有两条直线： $l_{1} : y = \sqrt{3} x, l_{2} : y = - x$ ，对点 $A (\sqrt{3}, 1)$ 作如下操作．第 1 步，作点 $A$ 关于 $l_{1}$ 的对称点 $A_{2}$ ；第 2 步，作 $A_{2}$ 关于 $l_{2}$ 的对称点 $A_{3}$ ；第 3 步，再作 $A_{3}$ 关于 $l_{1}$ 的对称点 $A_{4}$ ；第 4 步，再作 $A_{4}$ 关于 $l_{2}$ 的对称点 $A_{5} \dots \dots$ 以此类推，问：点 $A_{6}$ 的坐标为（）

A、 $(- \sqrt{3}, 1)$ B、 $(- 1, \sqrt{3})$ C、 $(1, \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3}, - 1)$

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8. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于 $0$ 的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为 $0$ 时，向右平移；当余数为 $1$ 时，向上平移；当余数为 $2$ 时，向左平移），每次平移 $1$ 个单位长度．
例：“和点” $P (2, 1)$ 按上述规则连续平移3次后，到达点 $P_{3} (2, 2)$ ，其平移过程如下：
$\underset{余 0}{P (2, 1)} \overset{右}{\to} \underset{余 1}{P_{1} (3, 1)} \overset{上}{\to} \underset{余 2}{P_{2} (3, 2)} \overset{左}{\to} P_{3} (2, 2)$
若“和点” $Q$ 按上述规则连续平移 $16$ 次后，到达点 $Q_{16} (- 1, 9)$ ，则点 $Q$ 的坐标为（）

A、 $(6, 1)$ 或 $(7, 1)$ B、 $(15, - 7)$ 或 $(8, 0)$ C、 $(6, 0)$ 或 $(8, 0)$ D、 $(5, 1)$ 或 $(7, 1)$

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9. 在平面直角坐标系上有个点 $P (1, 0)$ ，点P第1次向上跳动1个单位至点 $P_{1} (1, 1)$ ，紧接着第2次向左跳动2个单位至点 $P_{2} (- 1, 1)$ ，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第2024次跳动至 $P_{2024}$ 的坐标是（　　）

A、 $(507, 1013)$ B、 $(507, 1012)$ C、 $(506, 1012)$ D、 $(506, 1013)$

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10. 如图，动点A在平面直角坐标系中按图中方向运动，第一次从原点 $O$ 出发，依次运动到点 $A_{1} (1, 2)$ ， $A_{2} (3, 1)$ ， $A_{3} (4, 1)$ ， $A_{4} (5, 3)$ ， $A_{5} (7, 2)$ ， $A_{6} (8, 2)$ …像这样的运动规律，点 $A_{2024}$ 的横坐标是（）

A、 $2695$ B、 $2697$ C、 $2699$ D、 $2701$

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11. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1m.其行走路线如图所示，第1次移动到A₁ ，第2次移动到A₂ ， …，第n次移动到An，则△OA₂A₂₀₁₈的面积是( ).

A、 $504 m^{2}$ B、 $\frac{1009}{2} m^{2}$ C、 $\frac{1011}{2} m^{2}$ D、 $1009 m^{2}$

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二、填空题

12. 如图，在平面直角坐标系中，点A，A₁ ， A₂ ， ……在工轴上，点P，P₁ ， P₂ ，在直线l：y=kx+ $\frac{3}{4}$ (k>0)上，∠OPA=90°，点P(1，1) ，A(2，0)，且AP₁ ， A₁P₂ ， ……均与OP平行，A₁P₁ ， A₂P₂ ， ……均与AP平行，则有下列结论：①直线AP₁的函数解析式为y=x-2；②点P₂的纵坐标是 $\frac{25}{9}$ ；③点P₂₀₂₁的纵坐标为( $\frac{5}{3}$ )²⁰²¹。其中正确的是(填序号)。

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13. 在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底” $a$ ：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高” $h$ ：任意两点纵坐标的最大值，则“矩面积” $S = a h$ .例如：三点坐标分别为A（1，2）、B（-3，1）、C（2，-2），则“水平底” $a$ =5，“铅垂高” $h$ =4，“矩面积”S=20.若D（1，2）、E（-2，1），F（0，t ）三点的“矩面积”S=15，则的 $t$ 值为.

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14. 如图：将边长为1的正三角形OAP，沿x轴正方向连续翻转若干次，点A依次落在点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， …，A₂₀₁₉的位置上，则点A₂₀₁₉的坐标为.

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15. 如图所示，在平面直角坐标系中， $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $△ A_{3} A_{4} A_{5}$ ， $△ A_{5} A_{6} A_{7}$ ， …都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…其中点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2, 0)$ ，点 $A_{2}$ 的坐标为 $(1, - \sqrt{3})$ ，点 $A_{3}$ 的坐标为 $(0, 0)$ ，点 $A_{4}$ 的坐标为 $(2, 2 \sqrt{3})$ ， …，按此规律排下去，则点 $A_{100}$ 的坐标为．

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点A的坐标是 $(0 ， 8)$ ，以 $O A$ 为边在右侧作等边三角形 $O A A_{1}$ ，过 $A_{1}$ 作x轴的垂线，垂足为点 $O_{1}$ ，以 $O_{1} A_{1}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{1} A_{1} A_{2}$ ，再过点 $A_{2}$ 作x轴的垂线，垂足为点 $O_{2}$ ，以 $O_{2} A_{2}$ 为边在右侧作等边三角形 $O_{2} A_{2} A_{3}$ ， …，按此规律继续作下去，得到等边三角形 $O_{2022} A_{2022} A_{2023}$ ，则点 $A_{2023}$ 的纵坐标为

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17. 如图，在平面直角坐标系中，点A₁ ， A₂ ， A₃…都在x轴上，点B₁ ， B₂ ， B₃…都在直线 $y = x$ 上，△OA₁B₁ ， △B₁A₁A₂ ， △B₂B₁A₂ ， △B₂A₂A₃ ， △B₃B₂A₃…都是等腰直角三角形，且OA₁=1，则点B₂₀₁₉的坐标是.

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18. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A_{1} (2 ， 2)$ 在直线 $y = x$ 上，过点 $A_{1}$ 作 $A_{1} B_{1} ∥ y$ 轴，交直线 $y = \frac{1}{2} x$ 于点B，以 $A_{1}$ 为直角顶点， $A_{1} B_{1}$ 为直角边，在 $A_{1} B_{1}$ 的右侧作等腰直角三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；再过点 $C_{1}$ 作 $A_{2} B_{2} ∥ y$ 轴，分别交直线 $y = x$ 和 $y = \frac{1}{2} x$ 于 $A_{2}$ ， $B_{2}$ 两点，以 $A_{2}$ 为直角顶点， $A_{2} B_{2}$ 为直角边，在 $A_{2} B_{2}$ 的右侧作等腰直角三角形 $A_{2} B_{2} C_{2}$ …按此规律进行下去，点 $C_{2021}$ 的横坐标为 .

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19. 如图，过点A₁（1，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B₁；点A₂与点O关于直线A₁B₁对称；过点A₂（2，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B₂；点A₃与点O关于直线A₂B₂对称；过点A₃（4，0）作x轴的垂线，交直线y＝2x于点B₃；…，按此规律作下去，则点B_n的坐标为．

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20. 如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A₁(0，1)，A₂(1，1)，A₃(1，0)，A₄(2，0)，…，那么点A_4n_＋₁(n为自然数)的坐标为(用n表示)．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△ A B O$ 绕点 $B$ 顺时针旋转到 $△ A_{1} B_{1} O_{2}$ 的位置，使点 $O_{1}$ 的对应点 $O_{2}$ 落在直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 上……，依次进行下去，若点 $A$ 的坐标是（0，1），点 $B$ 的坐标是 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，则点 $A_{8}$ 的横坐标是.

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22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 1) ， B (- 1 ， 1) ， C (- 1 ， - 2) ， D (1 ， - 2)$ ，点P，点Q分别从点A，点C同时出发，沿长方形 $A B C D$ 的边作环绕运动，点P按逆时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q按顺时针方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，则第2023秒P，Q两点相遇地点的坐标是．

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23. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1+2+3+4+⋯+100时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+⋯+100＝ $\frac{100 \times (1 + 100)}{2}$ ．人们借助于这样的方法，得到1+2+3+4+⋯+n＝ $\frac{n (1 + n)}{2}$ （n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A_i（x_i ， y_i），其中i＝1，2，3，⋯，n ， ⋯，且x_i ， y_i是整数．记a_n＝x_n+y_n ，如A₁（0，0），即a₁＝0，A₂（1，0），即a₂＝1，A₃（1，-1），即a₃＝0，⋯，以此类推．则a₂₀₂₃＝．

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三、解答题

24. 在平面直角坐标系中，对于点P(x，y)，我们把点 $P^{'} (- y + 1, x + 1)$ 叫作点P的前进点.已知点A₁的前进点为A₂ ，点A₂的前进点为A₃ ，点A₃的前进点为A₄……这样依次得到点A₁ ， A₂ ， A₃ ， A₄ ， …，Aₙ.

(1)、若点A₁的坐标为(3，1)，写出点A₂ ， A₃ ， A₄ ， A₅的坐标.

(2)、从第(1)题的解答中，你发现了什么规律?按此规律，写出A₂₀₂₁的坐标.

(3)、若点A₁的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点A，均在x轴上方，则a，b应满足什么条件?

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25. 如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁ ，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂ ，第三次将△OA₂B₂变换成 $△ O A_{3} B_{3} .$

(1)、观察每次变换前后三角形的变化规律，按此变化规律，将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄ ，则A₄的坐标是， B₄的坐标是.

(2)、按第(1)题找到的规律，将△OAB进行n次变换，得到△OAₙBₙ.
①推测A。的坐标是 ▲ ， B。的坐标是 ▲ .
②求△OAₙBₙ的面积S.

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