广东省深圳市致理中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

试卷更新日期：2025-10-17 类型：月考试卷

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一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 命题 $∃ x ∈ [−2,5], x^{2021} −cos x^{2} <0$ 的否定为（）

A、 $∃ x ∈ [−2,5], x^{2021} −cos x^{2} ≠0$ B、 $∃ x ∈ [−2,5], x^{2021} −cos x^{2} ⩾0$ C、 $∀ x ∈ [−2,5], x^{2021} −cos x^{2} <0$ D、 $∀ x ∈ [−2,5], x^{2021} −cos x^{2} ⩾0$

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2. 函数 $f (x) = 2 x + \ln x - 6$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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3. $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = 1$ ，则 $a + 3 b$ 的最小值是（）

A、12 B、13 C、16 D、18

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4. 函数 $f (x) = \frac{10^{x} - 1}{10^{x} + 1} \cdot \sin x$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 函数 $y = \log_{\frac{1}{5}} (4 x^{2} - 5 x + 1)$ 的单调增区间为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{4})$ B、 $(- \infty, \frac{5}{8})$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(\frac{5}{8}, + \infty)$

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6. 已知 $a = \log_{2} π$ ， $b = \ln π$ ， $c = 3^{- 0.9}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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7. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，下列说法中不正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 的周期是 $4$ B、直线 $x = 2023$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、 $f (x)$ 在 $[2022, 2023]$ 上单调递增 D、 $f (2022) + f (2023) = - 1$

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8. 已知函数 $f (x) = x \ln x + m e^{x}$ 有两个极值点，求 $m$ 的取值范围（）

A、 $(- \frac{1}{e}, 0)$ B、 $[- \frac{1}{e}, 0)$ C、 $(0, \frac{1}{e})$ D、 $(0, \frac{1}{e}]$

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二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）

9. 下列求导运算正确的是（）

A、 $(\ln 5)^{'} = \frac{1}{5}$ B、 ${(\ln x + \frac{3}{x})}^{'} = \frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}}$ C、 ${(\frac{\sin x}{x})}^{'} = \frac{x \cos x + \sin x}{x^{2}}$ D、 ${(3^{x} \sin 2 x)}^{'} = 3^{x} (\ln 3 \cdot \sin 2 x + 2 \cos 2 x)$

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10. 已知圆锥的顶点为 $S, O$ 为底面圆心，母线 $S A$ 与 $S B$ 互相垂直， $△ S A B$ 的面积为2， $S A$ 与圆锥底面所成的角为 $30^{\circ}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、圆锥的高为 $\sqrt{2}$ B、圆锥的侧面积为 $3 π$ C、二面角 $S - A B - O$ 的大小为 $45^{\circ}$ D、圆锥侧面展开图的圆心角为 $120^{\circ}$

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11. 若首项为1的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 $\{S_{n} + 2\}$ 为等比数列 B、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 为递增数列 D、 $\{a_{n}\}$ 中存在三项构成等差数列

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三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x - 6$ 的极小值是.

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13. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (1, 2)$ ，则 $tan (2 α + \frac{π}{4}) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4^{x} - 1, x \leq a \\ \log_{\frac{1}{2}} x, x > a \end{array}$ ，其中 $a > 0$ ．
（1）当 $a = 2$ 时， $f (f (4))$ ．
（2）若 $f (x)$ 有最大值，则 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题（本题共5小题.共77分）

15. 某高校男女学生人数基本相当，为了解该校英语四级考试情况，随机抽取了该校首次参加英语四级考试的男、女各50名学生的成绩，情况如下表：

合格
不合格
男生
35
15
女生
45
5

(1)、依据小概率值α=0.010的独立性检验，分析该校首次参加英语四级考试的学生能否合格是否与性别有关；

(2)、从这50名男生中任意选2人，设这2人中合格的人数为X，求X的分布列和数学期望．
$P (χ^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $△ P C D$ 为等边三角形， $A B / / C D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $C D = 2 A B = 2 A D = 4$ ．

(1)、求证： $P B ⊥ C D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $4 \sqrt{3}$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的夹角正弦值．

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17. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{3} + a_{5} = 22$ ， $1 + 2 a_{2} = a_{4}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n + 1}^{2} = b_{n} b_{n + 2}$ ， $b_{2} = 2 b_{1}$ ， $b_{4} = 8$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、求数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、当 $a = 0 时，$ 求 $f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知直线 $x - 2 y + 4 = 0$ 与抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ 交于 $A, B$ 两点，且 $A, B$ 分别在第一、二象限， $Q$ 为线段 $A B$ 的中点．设 $C$ 在点 $A, B$ 处的切线交于点 $P$ ， $D$ 为曲线段 $A B$ （不含端点）上一点， $C$ 在点 $D$ 处的切线与直线 $P A, P B$ 分别交于点 $M, N$ ．

(1)、证明：
①直线 $P Q ⊥ x$ 轴；
②四边形 $M P N Q$ 的面积为定值；

(2)、设 $△ P M N$ 的外接圆为圆 $E$ ，问：圆 $E$ 是否过定点（点 $P$ 除外）？若过定点，求出定点坐标；不过定点，请说明理由．

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	合格	不合格
男生	35	15
女生	45	5

$P (χ^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828