一元一次不等式（组）的新定义问题-浙教版数学八年级上册培优训练

1. 阅读下列材料：定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”．例如：方程$2x-7=1$的解为$x=4$ ， 不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-5<0\hfill \\ 3x>6\hfill \end{array}\right.$的解集为$2<x<5$ ， 因为$2<4<5$ ， 所以称方程$2x-7=1$是不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-5<0\hfill \\ 3x>6\hfill \end{array}\right.$的相伴方程．

2. 定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．

例：已知方程$2x-3=1$与不等式$x+3>0$ ， 方程的解为$x=2$ ， 使得不等式也成立，则称“$x=2$”为方程$2x-3=1$和不等式$x+3>0$的“梦想解”．

3.

4. 阅读材料：如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作$\left[x\right]$ ．

例如，$\left[3.2\right]=3$ ， $\left[5\right]=5$ ， $\left[-2.1\right]=-3$ ， 那么，$x=\left[x\right]+a$ ， 其中$0\le a<1$ ．

例如，$3.2=\left[3.2\right]+0.2$ ， $5=\left[5\right]+0$ ， $-2.1=\left[-2.1\right]+0.9$ ．

请你解决下列问题：

（1）$\left[4.8\right]=$__________，$\left[-6.5\right]=$__________；

（2）如果$\left[x\right]=5$ ， 那么x的取值范围是__________；

（3）如果$\left[5x-2\right]=3x+1$ ， 那么x的值是__________；

（4）如果$x=\left[x\right]+a$ ， 其中$0\le a<1$ ， 且$4a=\left[x\right]+1$ ， 求x的值．

5. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所 熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题． 首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是$2$ 的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一元一次不等式、一元一次不等式组，并掌握 了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式（组）的解法求出一元二次不等式的解集吗？ 例题：解一元二次不等式 $x^2-9>0$ ， 分析：了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式（组），通过平方差公式的逆用，我们可以把$x^2-9>0$写成$\left(x+3\right)\left(x-3\right)$的形式，从面将$x^2-9>0$转化为$\left(x+3\right)\left(x-3\right)>0$ ， 然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式（组），从而解决问题．

解：$\because x^2-9=\left(x+3\right)\left(x-3\right)$

$\therefore x^2-9>0$可化为$\left(x+3\right)\left(x-3\right)>0$

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①$\left\{\begin{array}{l}x+3>0\\ x-3>0\end{array}\right.$②$\left\{\begin{array}{l}x+3<0\\ x-3<0\end{array}\right.$

解不等式组①，$x>3$

解不等式组②，$x<-3$

即一元二次不等式$x^2-9>0$的解集为$x>3或x<-3$

拓展应用：

$\left(1\right)$求一元二次不等式$x^2-16>0$的解集．

$\left(2\right)$求分式不等式$\frac{x-1}{x-3}<0$的解集．

$\left(3\right)$求一元二次不等式$2x^2-3x<0$的解集．

6. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：解一元二次不等式$x^2-4>0$.

解：$\text{∵}{x}^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ ，

$\therefore x^2-4>0$可化为$\left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$.

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

①$\{\begin{array}{l}x+2>0\hfill \\ x-2>0\hfill \end{array}$ ， ②$\{\begin{array}{l}x+2<0\hfill \\ x-2<0\hfill \end{array}$ ，

解不等式组①，得$x>2$ ， 解不等式组②，得$x<-2$ ，

$\therefore \left(x+2\right)\left(x-2\right)>0$的解集为$x>2$或$x<-2$ ，

即一元二次不等式$x^2-4>0$的解集为$x>2$或$x<-2$.

7. 阅读理解；

定义：使方程$\left(\mathrm{组}\right)$与不等式$\left(\mathrm{组}\right)$同时成立的未知数的值，称为此方程$\left(\mathrm{组}\right)$和不等式$\left(\mathrm{组}\right)$的“理想解”，例：已知方程$2x-1=1$与不等式$x+1>0$ ， 当$x=1$时，$2x-1=2\times 1-1=1，1+1=2>0$同时成立，则称“$x=1$”是方程$2x-1=1$与不等式$x+1>0$的“理想解”．

问题解决：

8. 我们约定：不等式组m＜x＜n ， m＜x≤n ， m≤x＜n ， m≤x≤n的“长度”均为d=n-m ， （m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2＜x≤2的“长度”d=2-（-2）=4，“整点”为x=-1，0，1，2.根据该约定，解答下列问题：

9. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“关联性方程（组）”．例如方程$2x-1=1$是不等式$x+1>0$的“关联性方程”，因为方程的解$x=1$可使得$x+1=2>0$成立；又如方程组$\{\begin{array}{l}x+y=7\hfill \\ x-y=1\hfill \end{array}$是不等式$2x+3y>15$的“关联性方程组”，因为方程组的解$\{\begin{array}{l}x=4\hfill \\ y=3\hfill \end{array}$可使得$2x+3y=2\times 4+3\times 3=17>15$成立．根据以上信息回答问题：

10. 定义：如果一个一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方程为该不等式组的＂半隐二次方程＂．例如：方程 ${\mathrm{x}}^2=4$ 的解为 ${\mathrm{x}}_1=2,{\mathrm{x}}_2=-2$ ，不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-4<0\\ 3\mathrm{x}>3\end{array}\right.$ 的解集为 $1<\mathrm{x}<4$ ，因为 $-2<1<2<4$ ，所以称方程 ${\mathrm{x}}^2=4$ 是不等式组 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-4<0\\ 3\mathrm{x}>3\end{array}\right.$ 的半隐二次方程．

11. 若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“包含”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．

例如：不等式$x>1$被不等式$x>0$“包含”．