沪科版数学八年级上册全等三角形之倍长中线、角平分线模型

试卷更新日期：2025-10-29 类型：同步测试

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一、倍长中线（直接倍长）

1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，求AC的长.
解：延长CD到H，使DH＝CD，连接AH，
∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD，（ ▲ ）
在△ADH与△BDC中，
${\begin{array}{l} C D = H D \\ ∠ C D B = ∠ H D A (\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix}) \\ B D = A D \end{array}$
∴△ADH≌△BDC（SAS），
∴AH＝ BC＝4，（ ▲ ）
∠H＝∠BCD＝90°，（ ▲ ）
∵∠ACH＝30°，
∴AC＝8.（ ▲ ）

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2. 如图，已知△ABC 中，AB=AC，D 为AB 上一点，E为AC 延长线上一点，BD=CE，DE 交BC于点F.求证：DF=EF.

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3. 如图

(1)、问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围.
思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用
三边关系，可得AD的取值范围.
问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.：
问题解决2：AD的取值范围是， AB和CE的位置关系是 .

(2)、问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明.

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二、倍长中线（间接倍长）

4. 在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法.
图1 图2 图3

(1)、如图1， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ，求 $A D$ 的取值范围.
我们可以延长 $A D$ 到点M ，使 $D M = A D$ ，连接 $B M$ ，根据 $S A S$ 可证 $△ A D C ≌ △ M D B$ ，所以 $B M = A C$ .接下来，在 $△ A B M$ 中利用三角形的三边关系可求得 $A M$ 的取值范围，从而得到中线 $A D$ 的取值范围是：；

(2)、如图2， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线，点E在 $A C$ 边上， $B E$ 交 $A D$ 于点F ，且 $A E = E F$ ，请参考（1）中的方法求证： $A C = B F$ ；

(3)、如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，点E是 $A B$ 的中点，连接 $C E$ ， $E D$ ，且 $C E ⊥ D E$ ，试猜想线段 $B C$ ， $C D$ ， $A D$ 之间的数量关系，并予以证明.

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5. （1）如图①，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $A D$ 的取值范围；
（2）如图②，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点E， $D F$ 交 $A C$ 于点F，连接 $E F$ ，判断 $B E + C F$ 与 $E F$ 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A F$ 与 $D C$ 的延长线交于点F，点E是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A F$ 的角平分线．试探究线段 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 之间的数量关系，并加以证明．

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三、角平分线（基础全等）

6. 如图，AB=AC， BD=CD. 求证： AD平分∠BAC.

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7. 工人师傅常借助“角尺”这个工具来平分一个角，其背后的依据就是全等三角形的性质如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取OC=OD，适当摆放角尺（图中的∠CED），使其两边分别经过点C、D，且点C、D处的刻度相同，这时经过角尺顶点E的射线OE就是∠AOB的平分线.这里判定两个三角形全等的依据是（）

A、SAS B、SSS C、AAS D、ASA

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8. 如图， $D E ⊥ A B$ 于 $E ， D F ⊥ A C$ 于F，若 $B D = C D ， B E = C F$ ，

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、已知 $A C = 10 ， B E = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D是 $B C$ 边上的一点， $A B = D B$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A C$ 边于点E，连接 $D E$ .

(1)、求证： $Δ A B E ≅ Δ D B E$ ；

(2)、若 $∠ A = 100 °$ ， $∠ C = 50 °$ ，求 $∠ A E B$ 的度数.

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10. 如图，在△ABC中，AB＜AC，边 $B C$ 的垂直平分线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外角 $∠ C A M$ 的平分线于点 $D$ ，垂足为E，DF⊥AC于点F， $D G ⊥ A M$ 于点 $G$ ，连接CD．

(1)、求证：BG＝CF；

(2)、若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长．

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四、角平分线（构造全等）

11. 如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B ．

(1)、如图1，当∠C=90°， AD为∠BAC的角平分线时，求证：AB=AC+CD ；

(2)、如图2，当 ∠C≠90°， AD为 ∠BAC的角平分线时，线段AB ， AC ， CD的数量关系为  ；

(3)、如图3，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB ， AC ， CD 的数量关系为  ；

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12. 在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD.

(1)、如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；

(2)、如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

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13. 如图，已知 $B D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线，延长 $B D$ 到 $E$ ，使得 $E D = A D$ ，连接 $E C$ ，若 $B C = A B + E C$ ，且 $∠ A = α (70 ° \leq α \leq 100 °)$ ．

(1)、求证： $C D$ 平分 $∠ B C E$ ；

(2)、求 $∠ E$ 的取值范围；

(3)、若延长 $B A$ ， $C E$ 相交于点 $H$ ，求 $∠ H$ 的度数．

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14. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ．

(1)、如图1， $∠ M D N$ 的两边分别与 $A B$ 、 $A C$ 相交于M、N两点，过D作 $D F ⊥ A C$ 于F， $D M = D N$ ，证明： $A M + A N = 2 A F$ ；

(2)、如图2，若 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A C = 9$ ， $∠ M D N = 120 °$ ， $N D ∥ A B$ ，求四边形 $A M D N$ 的周长．

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15. （1）如图1，在 $△ A B C$ 中， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点D， $A E ⊥ C D$ 于点E．求证： $∠ C A E = ∠ D A E + ∠ B$
（2）①如图2， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B, B E 丄 C D$ ，垂足E在 $C D$ 的延长线上，试探究 $B E$ 和 $C D$ 的数量关系，并证明你的结论．
②如图3， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，点F在线段 $B C$ 上， $∠ E F B = \frac{1}{2} ∠ C, B E ⊥ E F$ ，垂足为E， $E F$ 与 $A B$ 相交于点D．若 $△ B D F$ 的面积为64，求 $B E$ 的长．

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