北师大版九年级上学期期中模拟数学试题（范围：第1-4章）

试卷更新日期：2025-10-28 类型：期中考试

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 把方程 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m + n =$ （　　）

A、17 B、14 C、11 D、7

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2. 如图，正方形 $M N P Q$ 内接于 $△ A B C$ ，点 $M 、 N$ 在 $B C$ 上，点 $P 、 Q$ 分别在 $A C$ 和 $A B$ 边上，且 $B C$ 上的高 $A D = 6$ ， $B C = 12$ ，则正方形 $M N P Q$ 的边长为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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3. 10月16日是世界粮食日．某校组织了粮食安全公益活动，现有“节粮宣讲员”、“光盘示范员”和“爱粮监督员”三类志愿者岗位身份，小霞和小艺从中任选一类，则她们恰好选到同一类岗位的概率是（　　）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 如图， $△ ABC$ 是等边三角形，被一平行于 $BC$ 的矩形所截(即：FG∥BC)，若AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是 $△ ABC$ 的面积的（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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5. 对于一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ （a≠0），下列说法：
①若 $a + c = b$ ，则 $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ；
②若方程 $a x^{2} + c = 0$ 有两个不相等的实数根，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 必有两个不相等的实数根；
③若 $x = c$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根，则一定有 $a c + b + 1 = 0$ 成立；
④若 $x = x_{0}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的根，则 $b^{2} - 4 a c = {(2 a x_{0} + b)}^{2}$
其中正确的个数为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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6. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为 $175$ 亿元，若设平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意可列方程（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ B、 $50 + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$

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7. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 C D$ 上的点，且 $A E = C F, E F$ 与 $A C$ 相交于点O．若 $∠ D A C = 36 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $54 °$ C、 $56 °$ D、 $64 °$

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8. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，E在 $A D$ 边上，将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折叠，使点A恰好落在矩形 $A B C D$ 的对称中心O处， $A B = 4$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、8 D、12

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9. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 上， $E F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ 并延长，交边 $B C$ 于点 $M$ ，交边 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．若 $A F = 4$ ， $F B = 2$ ，则 $M G =$ （）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{5} + 2$ D、 $2 \sqrt{10}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 4$ ，动点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上，且 $B E = C F$ ，则 $E F$ 的最小值为．

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11. 若 $m 、 n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个实数根，多项式 $2 n^{2} - m n + 2 m$ 的值是．

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12. 一个盒子中装有10颗黄色幸运星，若干颗红色幸运星和16颗蓝色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为颗．

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13. 如图，取一张长为 $a$ ，宽为 $b$ 的矩形纸片 $(a > b)$ ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 $a, b$ 应满足的条件是．

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14. 某地进行“迎国庆振兴杯”篮球邀请赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），若计划安排21场比赛，则邀请个球队参赛．

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三、解答题（共8题，共75分

15. 解方程∶

(1)、 ${(5 x - 1)}^{2} = 3 (5 x - 1)$ ；

(2)、 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ ．

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16. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (k + 6) x + 3 k + 9 = 0$ ．

(1)、求证：无论 $k$ 为何值，方程总有实数根；

(2)、若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，求代数式 $(x_{1} - 3) (x_{2} - 3) + 2$ 的值．

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17. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点P ， Q分别为 $A D ， B C$ 边上的点， $A P = C Q$ ． BD平分 $∠ P D Q$ ．

(1)、求证：四边形 $P D Q B$ 为菱形；

(2)、若 $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，求四边形 $P D Q B$ 的面积．

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18. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C = B C ， M ， N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点．

(1)、求证：四边形 $A M C N$ 是矩形；

(2)、若 $\tan B = \sqrt{3} ， B C = 2$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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19. 如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，在边 $A C$ 上取点 $E$ ，使 $A D^{2} = A B \times A E$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ A D E$ ．

(2)、若 $∠ A D B = 64 °$ ， $∠ C = 42 °$ ，求 $∠ C D E$ 的度数．

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20. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)

(1)、若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为件．

(2)、当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．

(3)、该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

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21. 某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级．其等级对应的分值分别为100分 $\sim 91$ 分、90分 $\sim 81$ 8分、80分 $\sim 71$ 分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．

(1)、由图可知该校初三共名学生，比赛成绩等级为 $C$ 级的学生人数是人；

(2)、由图可知 $m$ 的值为；

(3)、初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的 $2$ 人中至少有1个女生的概率．

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22. 综合与实践

【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点 $P$ 将线段AB分成两部分 $(A P > B P)$ ，若 $\frac{B P}{A P} = \frac{A P}{A B}$ ，则称点 $P$ 为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.

(1)、【初步感知】
如图1，若 $A B = 1$ ，求临金比 $\frac{A P}{A B}$ 的值.

(2)、【类比探究】
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是BC边上一点，AD将 $△ A B C$ 分割成两个三角形（ $S_{△ A D D} > S_{△ A C D}$ ），若 $\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ A B D}} = \frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A B C}}$ ，则称AD为 $△ A B C$ 的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.

(3)、【拓展应用】
如图3，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于 $F$ ，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是 $△ A B C$ 的黄金分割线吗?并说明理由.

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