浙江省杭州市杭州西子实验学校2025-2026学年高三上学期9月摸底考试数学试卷

试卷更新日期：2025-09-25 类型：月考试卷

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一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）

1. 若集合 $A = \{0, 1\}$ ， $B = \{x |0 < x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\emptyset$ C、 $\{0\}$ D、 $\{1\}$

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2. 已知i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z = (3 - i) (1 + i)$ ，则 $z =$ （）

A、 $4 - 2 i$ B、 $4 + 2 i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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3. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + 5$ 满足条件 $x = - 1$ 与 $x = 3$ 时的函数值相等，则 $x = 2$ 时的函数值为（）

A、5 B、6 C、8 D、7

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4. 设 $b, c \in R$ ，不等式 $x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 ${x ∣ x < 1$ 或 $x > 3}$ ，则 $b + c =$ （　　）

A、 $- 1$ B、0 C、2 D、7

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5. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ，则 $a + b =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、0

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x)$ 为偶函数， $g (x)$ 为奇函数，且满足 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，则 $f (\ln 2) =$ （）

A、 $\frac{e^{2} + e^{- 2}}{2}$ B、 $\frac{e^{2} - e^{- 2}}{2}$ C、0 D、 $\frac{5}{4}$

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8. 设 $a = \frac{1}{3}$ ， $b = \ln \frac{4}{3}$ ， $c = \log_{2} \frac{4}{3}$ 则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $b < a < c$ D、 $a < b < c$

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二、多选题（共3小题，每题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分分）

9. 给定命题 $p$ ： $\forall x \geq m$ ，都有 $x^{2} \geq 10$ ．若命题 $p$ 为假命题，则实数 $m$ 的值可以是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 已知函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 是幂函数，则（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $m^{2} + m = 2$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、当 $f (2) < 2$ 时， $f (x) = x^{- 2}$

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11. 若 $f (x + 1)$ 为奇函数，且 $f (3 - x) = f (1 + x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x)$ 的一个周期为2 C、 $f (x - 4) = f (x)$ D、 $\sum_{k = 1}^{2026} f (4 k + 1) = 0$

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三、填空题（共3小题，每题5分，共15分）

12. “ $a > \frac{1}{2}$ ”是“ $\frac{1}{a} < 2$ ”的条件.

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13. $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ ，若 $f (m) = n$ ，则 $f (- m) =$ .

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14. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{a b}$ 的最小值是.

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四、解答题

15. 某学校为全面提高学生的语文素养和阅读水平，构建“书香校园”，特举办“课外阅读知识竞赛”，为了调查学生对这次活动的满意程度，在所有参加“课外阅读知识竞赛”的同学中抽取容量为300的样本进行调查，并得到如下 $2 \times 2$ 列联表：
单位：人
满意程度
性别
合计
男生
女生
满意
120
不满意
150
合计
200
请补全上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为满意程度与性别有关系.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.1
0.05
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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16. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ ， $\sin A = 2 \sin C$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3} = a_{5} = 9$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，且 $b_{3}^{2} = b_{6}$ ， $b_{4} - b_{2} = 12$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F (0, 1)$ ，过点 $P (- 2, 2)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A ， B$ 两点．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、当点 $P$ 为弦 $A B$ 的中点时，求直线 $A B$ 的方程；

(3)、求 $|A F| \cdot |B F|$ 的最小值．

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满意程度	性别		合计
满意程度	男生	女生	合计
满意	120
不满意			150
合计	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	10.828