北师大版数学八年级上学期期中模拟检测基础卷（第1-4章）

试卷更新日期：2025-10-23 类型：期中考试

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一、选择题（本大题共8小题, 每小题3分, 共24分, 每小题有四个选项, 其中只有一个是正确的）

1. 下列几组数中，能构成直角三角形三边的是（）

A、1，1，2 B、2，3，4 C、3，4，5 D、4，5，6

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2. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ．若 $S_{1} = 6$ ， $S_{3} = 15$ ．则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、9 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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3. 在 $\frac{7}{22}$ ， $3.33$ ， $\frac{π}{2}$ ， $- 2 \frac{1}{2}$ ， 0， $0.454455444555 \dots$ ， $- \sqrt{0.9}$ ， $127$ ， $\sqrt[3]{\frac{1}{27}}$ 中，无理数的个数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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4. 使二次根式 $\sqrt{7 - a}$ 有意义，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a > 7$ B、 $a < 7$ C、 $a \geq 7$ D、 $a \leq 7$

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5. 如图，数轴上A，B两点所对应的实数分别是 $- π$ ， 1．若线段 $C B = 2 A B$ ，则点C所表示的实数是（）

A、 $π + 1$ B、 $- 2 π$ C、 $- 2 π - 1$ D、 $- 2 π - 2$

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6. 如图，点A、B的坐标为 $(1, 0)$ 、 $(0, 2)$ ，将 $A B$ 平移到 $A^{'} B^{'}$ ，已知 $A^{'}$ 坐标为 $(3, 1)$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(3, 3)$ B、 $(3, 2)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(4, 3)$

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7. 在平面直角坐标系中，点M(-2，3)与点N关于x轴对称，则将点 M平移到点N的过程为( )

A、向上平移6个单位 B、向下平移6个单位 C、向左平移4个单位 D、向右平移4个单位

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8. 点 $A (x_{1}, y_{1})$ 和 $B (x_{2}, y_{2})$ 都在直线 $y = - 2 x + 3$ 上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的关系是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} \geq y_{2}$ D、 $y_{1} \leq y_{2}$

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二、填空题（本大题共5小题, 每小题3分, 共15分）

9. $\sqrt{16}$ 的平方根是； $- \frac{27}{125}$ 的立方根是．

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点 $E$ 在数轴上，且在点A的左侧， $A D = A E$ ，则点 $E$ 表示的数是．

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11. 如图，以 $R t △ A B C$ 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 $A B F G$ 、正方形 $A C D E$ 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为．

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12. 如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为 $(2, 2)$ ，乙的坐标为 $(- 1, - 2)$ ，则丙的坐标为．

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13. 一次函数 $y_{1} = a x + b$ 与 $y_{2} = c x + d$ （a，b，c，d为常数， $a \neq 0$ ， $c \neq 0$ ）的图象如图所示，若 $a - c = m (d - b)$ ，则 $m =$ ．

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三、解答题（共7题；共61分)

14. 已知 $5 a + 4$ 的立方根是 $- 1 ， 3 a + b - 1$ 的算术平方根是 $3 ， c$ 是 $\sqrt{13}$ 的整数部分．

(1)、求 $a 、 b 、 c$ 的值；

(2)、求 $3 a + b + 2 c$ 的平方根．

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15. 如图，一架 $5$ 米长的梯子 $A B$ 斜靠在竖直的墙上，这时底端 $B$ 到墙角 $C$ 的距离为 $3$ 米．

(1)、此时，这架梯子的顶端 $A$ 距离地面有多高？

(2)、如果梯子的底端 $B$ 向内移动 $1.6$ 米，则顶端 $A$ 沿墙向上移动多少米？

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16. 如图，x轴的正向表示东，y轴的正向表示北，每单位长为50米。请在直角坐标系中画出下列各地点的位置。

(1)、学校的餐厅A(0，-2)。

(2)、学校的图书馆B，位于餐厅A的正北方向200米处。

(3)、学校的教学楼，位于餐厅北偏东 $5 3^{\circ}$ 方向的250米处。

(4)、学校的体育馆，位于餐厅北偏西( $6 3^{\circ}$ 方向的 $100 \sqrt{5}$ 米处。

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17. 周末，张洋去某杨梅园摘杨梅，已知该杨梅园内的杨梅单价是每千克40元．为满足客户需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的杨梅在10千克以内按原价收费、超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设张洋的采摘量为 $x (x > 0)$ 千克，按甲方案所需总费用为 $y_{1}$ 元，按乙方案所需总费用为 $y_{2}$ 元．

(1)、当采摘量超过10千克时，分别求出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 关于x的函数表达式；

(2)、若张洋的采摘量为30千克，选择哪种方案更划算?请说明理由．

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18. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长部为 $c$ ），大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．

(1)、图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理：

(2)、如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ 、 $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （ $A$ 、 $H$ 、 $B$ 在同一条直线上），并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.4$ 千米，求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？

(3)、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{2} x + 2$ 交x轴于点A，交y轴于点B，直线 $B C$ 交x轴于点 $C (1, 0)$ ．

(1)、先判断 $△ A B C$ 的形状，再说明理由；

(2)、线段 $A C$ 上取一点D，使得 $△ B C D$ 是以 $B C$ 为腰的等腰三角形，求点D的坐标；

(3)、若在x轴上有一点M，在直线 $B C$ 上有一点N，满足 $△ M N C ≌ △ A O B$ ，求点M的坐标．

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