【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第25~26题-在线组卷题库

1. 【问题背景】
如图1，在平行四边形纸片ABCD中，过点B作直线l⊥CD于点E ，沿直线l将纸片剪开，得到△B₁C₁E₁和四边形ABED ，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片B₁C₁E₁和四边形纸片ABED进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片B₁C₁E₁置于四边形纸片ABED内部，使得点B₁与点B重合，点E₁在线段AB上，延长BC₁交线段AD于点F ，如图3所示；
②连接CC₁ ，过点C作直线CN⊥CD交射线EE₁于点N ，如图4所示；
③在边AB上取一点G ，分别连接BD ， DG ， FG ，如图5所示．
【问题解决】
请解决下列问题：

(1)、如图3，填空：∠A+∠ABF＝ °；

(2)、如图4，求证：△CNM≌△C₁E₁M；

(3)、如图5，若 $A B = 2 A D = 2 \sqrt{7} A F$ ， ∠AGD＝60°，求证：FG∥BD ．

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2. 如图，已知平行四边形ABCD，连接对角线AC，BD交于点E，过点E作PQ⊥MN，分别与AB，BC，CD，DA交于点P，M，Q，N．

(1)、求证：ΔDEQ≅ΔBEP ．．

(2)、若依次连接P，M，Q，N，四边形PMQN是什么特殊四边形？说明理由

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3. 如图，在▱ABCD中，∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，AF⊥BE 于点 F，延长 AF交 BC于点 G，连结 EG，CF.

(1)、判断四边形AEGB 的形状，并说明理由；

(2)、若 tan∠ABC= $\sqrt{3}$ ， CD=8，AD=10，求线段CF 的长.

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4. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $B E$ ， $D F$ 分别垂直对角线 $A C$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $B E = D F$ ；

(2)、若 $▱ A B C D$ 的周长为 $26 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = 30 °$ ，过点 $E$ 作 $E M ⊥ A B$ 于点 $M$ ， $E M = 6$ ，求 $A C$ 的长．

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5. 如图1，点P是 $▱ A B C D (A D > A B)$ 对角线 $B D$ 上的一点（ $B P > P D$ ），且使得 $∠ A B P = ∠ A P B$ ，连接 $A P$ 并延长，交 $C D$ 于点E．

(1)、若 $\frac{P D}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{C E}{D E}$ 的值．

(2)、如图2，将 $△ A D P$ 沿 $A B$ 方向平移到 $△ B C M$ ，求证： $∠ A D B = ∠ M D B$ ．

(3)、如图3，连接 $P C$ ，取 $P C$ 的中点M，连接 $D M$ 交 $A E$ 于点F，若 $\frac{C E}{C D} = \frac{1}{4}$ ，求 $\frac{D F}{A D}$ 的值．

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6.

(1)、【探究发现】如图①，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE 的中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN=NC.

(2)、【拓展应用】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点N，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M.若AD=2，BC=3，求 $\frac{E M}{M F}$ 的值.

(3)、【综合提升】如图③，在▱ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，动点E在边AB上，过点E作EF∥BD交AC于点 F，过点F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG.求EG的最小值.

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7. 如图，在每一个四边形ABCD 中，均有 AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12.

(1)、如图①，点 M 是四边形ABCD 边AD 上的一点，则△BMC的面积为.

(2)、如图②，点 N 是四边形ABCD 边AD 上的任意一点，请你求出△BNC 周长的最小值.

(3)、如图③，在四边形ABCD 的边AD 上，是否存在一点 P，使得cos∠BPC 的值最小? 若存在，求出此时 cos∠BPC 的值；若不存在，请说明理由.

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8. 转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用.请解答下面的问题.
如图①，在 △AOB 中， OA = OB，∠AOB=90°.

(1)、【基础巩固】
将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转60°得到△DCB，如图②，连结 OC，求证：OC=OB.

(2)、【思考探究】
将图①中△AOB 绕点 B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到△DCB，如图③，使 $\frac{B C}{O B} = \frac{1}{2}$ ，连结OC，AD.
①求证：△OBC∽△ABD；
②用等式表示 AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、【拓展延伸】
将图①中△AOB绕点 B 按顺时针方向旋转某个角度(小于 180°)并缩小得到△DCB，如图④，使 $\frac{B C}{O B} = \frac{1}{2} ，$ 连结 OC，AC，AD.当OC=OB时，求 $\frac{A C}{A D}$ 的值.

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9. 现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，
【发现与证明】
$▱ A B C D$ 中， $A B \neq B C$ ，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A B^{'} C$ ，连结 $B^{'} D$ ．
结论1： $△ A B^{'} C$ 与 $▱ A B C D$ 重叠部分的图形是等腰三角形；
结论2： $B^{'} D ∥ A C$ ．
……
（1）请利用图1证明结论1或结论2（只需证明一个结论）．

【理解与应用】
在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A B^{'} C$ ，连结 $B^{'} D$ ．
（2）如图2，已知 $∠ B = 30 °$ ，若 $A B > B C$ ， $∠ A B^{'} D = 15 °$ ，则 $∠ A C B =$ ______°；
【探究与拓展】
在 $▱ A B C D$ 中，将 $△ A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ A B^{'} C$ ，连结 $B^{'} D$ ．
（3）已知 $∠ B = 30 °$ ， $A B = 6$ ，翻折后四边形为 $A C B^{'} D$ 时，如果 $A B^{'}$ 平分 $∠ C B^{'} D$ ，求 $B C$ 的值；
（4）已知 $∠ B = 30 °$ ， $A B = 6$ ，当 $△ A B^{'} D$ 是直角三角形时，则 $B C =$ ______．

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10. 综合与实践
【问题情境】如图，在四边形 ABCD中，P 是线段 BC 上一点，∠APD=90°，AP=PD.
【性质初探】如图①，当∠B=∠C=90°时，猜想AB，CD，BC三条线段存在的数量关系，并证明；
【类比再探】如图②，延长 BA，CD 交于点E，当 AB⊥CD，∠B=30°时，求 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值；
【问题解决】如图②，延长 BA，CD 交于点E，当AB⊥CD，∠B=α时，用含α的代数式表示 $\frac{A B + C D}{B C}$ 的值.

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11. 如图，已知二次函数y＝ax（x﹣4）（a≠0）的图象过点A（2，2），连接OA点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），R（x₃ ， y₃）是此二次函数图象上的三个动点，且0＜x₃＜x₁＜x₂＜2，过点P作PB∥y轴交线段OA于点B．

(1)、求此二次函数的表达式；

(2)、如图1，点C、D在线段OA上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答：
①当PB＞QC时，求证：x₁+x₂＞2；
②当PB＞RD时，求证：x₁+x₃＜2；

(3)、如图，若 $x_{2} = \frac{3}{2} x_{1} ， x_{3} = \frac{1}{2} x_{1}$ ，延长PB交x轴于点T ，射线QT、TR分别与y轴交于点Q₁ ， R₁ ，连接AP ，分别在射线AT、x轴上取点M、N（点N在点T的右侧），且∠AMN＝∠PAO ， $M N = 2 \sqrt{2}$ ．记t＝R₁Q₁﹣ON ，试探究：当x为何值时，t有最大值？并求出t的最大值．

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12. 已知抛物线y＝x²+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（-4，5）．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当﹣2＜x＜3时，求y的取值范围．

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13. 已知二次函数y=-x²+bx+c经过点A（3，0）与B（0，3）.

(1)、求b，c的值.

(2)、求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。

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14. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求二次函数解析式和顶点坐标．

(2)、坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移 $m$ 个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离 $m$ ．

(3)、在二次函数图象上取点 $D$ （不与点 $C$ 重合），使得在 $C ， D$ 之间的图象上（含 $C ， D$ 两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点 $D$ 的坐标．

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．

(1)、求抛物线的解析式及顶点坐标；

(2)、如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作 $M N ∥ y$ 轴，交AC于点N，过N作 $N D ∥ B C$ 交x轴于点D，求 $M N - \frac{\sqrt{2}}{2} N D$ 的最大值及此时点M的坐标；

(3)、如图2，在（2）的条件下，当 $M N - \frac{\sqrt{2}}{2} N D$ 取最大值时，将抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 沿射线AC方向平移 $3 \sqrt{5}$ 个单位，得到新抛物线 $y^{'}$ ，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作 $P Q ∥ y$ 轴交射线MK于点Q，连接PK，当 $△ P Q K$ 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

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16. 如图，矩形 $O A B C$ 的边 $O A ， O C$ 在坐标轴上，顶点B在第一象限，且在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上， $O A = 8$ ，点D从点O开始沿 $O A$ 边向点A以每秒2个单位的速度移动，与此同时，点E从点A开始沿 $O A$ 边向点O以每秒1个单位的速度移动， $D F ⊥ x$ 轴，交 $O B$ 于点F，连接 $E F$ ，当点D到达点A时，两点同时停止移动，设移动时间为t秒．

(1)、直接写出： $A B =$ ______， $D F =$ _______（含t的代数式表示）．

(2)、当点D在点E的左侧时，若 $△ D E F$ 的面积等于2，求t的值．

(3)、在整个过程中，
①若在矩形 $O A B C$ 的边上能找到点P，Q，使得以E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，求出所有满足条件的t的值．
②以 $D A ， D F$ 为邻边作矩形 $D A G F$ ，连接 $E G$ ，取线段 $E G$ 的中点Q，连接 $F Q$ ，求 $F Q$ 的最小值（直接写出答案）．

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17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1，0)$ ， $B (3，0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $B C$ ，点 $P$ 是抛物线在第四象限上一个动点 $($ 点 $P$ 不与点 $B$ ， $C$ 重合 $)$ ，连结 $P B$ ， $P C$ ，以 $P B$ ， $P C$ 为边作▱ $C P B D$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

(1)、求抛物线对应的函数表达式；

(2)、当▱ $C P B D$ 有两个顶点在 $x$ 轴上时，则点 $P$ 的坐标为；

(3)、当▱ $C P B D$ 是菱形时，求 $m$ 的值．

(4)、当 $m$ 为何值时，▱ $C P B D$ 的面积有最大值？

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【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第25~26题

一、原题25

二、变式1基础

三、变式2巩固

四、变式3提高

五、原题26

六、变式1（基础）

七、变式2（巩固）

八、变式3（提高）