【湖南卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第21~22题

试卷更新日期：2025-10-20 类型：二轮复习

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一、原题21

1. 如图，△ABC的顶点A ， C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C ，连接OC ．

(1)、求∠ACO的度数；

(2)、求证：AC＝BC ．

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二、变式1基础

2. 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，角尺的直角顶点为B，用角尺的较短边AB紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C．已知AB=8cm，设⊙O的半径为rcm．若BC=12cm，求⊙O的半径．

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3. 如图，P是 $⊙ O$ 的直径AB延长线上一点，PT切 $⊙ O$ 于点 $T$ .若 $P T = 4, P B = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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4. 如图，AB与 $⊙ O$ 相切于点 $C, O A = O B$ .若 $⊙ O$ 的直径为 $8, A B = 10$ ，求OA的长.

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三、变式2巩固

5. 如图所示，在 $△ A B D$ 中， $A B = B D,$ ⊙O 为 $△ A B D$ 的外接圆，BE 为⊙O的切线，AC为⊙O 的直径，连结 DC 并延长，交 BE 于点E.

(1)、求证： $D E ⟂ B E .$

(2)、若 $A B = 5 \sqrt{6}, B E = 5,$ 求⊙O 的半径.

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6. 如图，AB 为⊙O 的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D，连结AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点 B作BF⊥CE，垂足为 F.

(1)、求证：CA=CD；

(2)、若AB=12，求线段 BF 的长.

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7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 为 AB 上一点，以BD 为直径的半圆交 BC于点 F，且AC切半圆O 于点 E.

(1)、求证： $\hat{D E} = \hat{E F};$

(2)、若∠A=30°，AB=6，求 CF的长.

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四、变式3提高

8. 已知，正方形ABCD，AB=4，以CD为直径在正方形内部作半圆M，点E是边BC上动点，连结DE交半圆M于点F，连结MF.

(1)、若∠CMF=50°，求∠ADE的度数.

(2)、如图2，连结AF，将△ADF沿着DE对折，得到△PDF，PF交CD于点N.
①若∠DAF=50°，求∠MFP的度数.
②求MN的最小值.

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9. 如图， $⊙ O$ 是以AB为直径的圆，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，CD切 $⊙ O$ 于点 $C, B D ⊥ C D$ 于点 $D$ ，连结BC ．

(1)、求证： $∠ A B C = ∠ C B D$ ．

(2)、若 $A B = 10, B D = \frac{32}{5}$ ．
①求BC的长度．
②如图，点 $P$ 在半径AO上，连结CP并延长交 $⊙ O$ 于点 $Q$ ，且 $\frac{C P}{P Q} = \frac{6}{5}$ ，连结QB ，求证： $Q B = Q C$ ．

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10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点 $C$ ， $D A = D C$ ．

(1)、求 $∠ C$ 的度数；

(2)、如图 $2$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上的动点，过点 $P$ 作 $A D$ 的平行线，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $F (P F \geq P E)$ ，连接 $B E$ ， $B F$ ， $A B = 10$ ．
①当 $\tan ∠ F B A = 1$ 时，求 $B E$ 的长；
②当 $B P$ 为何值时 $\frac{B E}{E F} = \frac{E F}{B F}$ ．

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五、原题22

11. 同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料．已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等．

(1)、求A种材料和B种材料的单价；

(2)、若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？

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六、变式1（基础）

12. 商店里一种20瓦(即0.02千瓦)LED灯的亮度相当于60瓦(即0.06千瓦)的节能灯，LED灯售价30元/个，节能灯售价15元/个。如果电价是0.5元/千瓦时，问：LED灯使用多少时间后，总费用(售价加电费)少于选用节能灯的费用(用电量=千瓦数×用电时数)?

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13. 某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行贷款的本利和超过1040万元。问：贷款年利率在怎样的一个范围内?

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14. A，B，C，D四座小山的山脚到学校的路程分别是9km，11km，12km，14km。学校准备组织一次八年级学生登山活动，计划在上午8时出发，以平均每小时4km的速度前进，登山和在山顶活动的时间为1小时，下山的时间为30分钟，再以平均每小时3km的速度返回，在下午4时30分前赶回学校。你认为学校可计划登哪几座山?请说明理由。

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七、变式2（巩固）

15. 学校为了“弘扬传统文化，阅读经典名著”，计划给学校图书馆添置书籍，已知购买3本《论语》和5本《诗经 $》$ 共需140元，购买1本《论语》和2本《诗经》共需52元．

(1)、求每本《论语》和每本《诗经》各多少元？

(2)、学校决定购买《论语》和《诗经》共 $200$ 本，总费用不超过 $3500$ 元，那么该学校最多可以购买多少本《论语》？

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八、变式3（提高）

16. 金盛嘉悦广场销售每台进价分别为200元，170元的A、B两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
销售时段销售数量销售收入
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 1800
第二周 4台 10台 3100
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入-进货成本）

(1)、求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

(2)、若金盛嘉悦广场准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

(3)、在（2）的条件下，金盛嘉悦广场销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

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17. 某中学八年级师生计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表3-3：
表
车型
每辆载客量/人
每辆租金/元
A型客车
45
1250
B型客车
30
1000
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共8辆。设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

(1)、用含x的式子完成下表
车型
车辆数/辆
载客量/人
租金/元
A型客车
x

B型客车

(2)、若要保证租车费用不超过9000元，最多租用A型客车多少辆?

(3)、参加此次活动的总人数为298人。如果按第(2)题的方案租车，可行吗?

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