《圆》精选压轴题（二）—2025年浙江省九（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、填空题

1. 如图， $∠ B A C = 60 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ， D是线段 $B C$ 上的一个动点，以 $A D$ 为直径画 $⊙ O$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于E，F，连接 $E F$ ，则线段 $E F$ 长度的最小值为．

查看试题解析
2. 如图，以O为圆心，4为半径作圆， $O H = 2$ ，直径 $C D ⊥ A B$ 于点H，点E为 $⊙ O$ 上一动点， $C F ⊥ A E$ 于点F，则弦 $A B$ 的长度为；当点E在 $⊙ O$ 上的运动过程中，线段 $F O$ 的长度的最小值为

查看试题解析
3. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径为4，若 $\overset{⌢}{A B}$ 的度数为 $60 °$ ， $\overset{⌢}{C D}$ 的度数为 $120 °$ ， $\overset{⌢}{B D}$ 的度数为 $60 °$ ，点 $E$ 为弦 $A B$ 的中点，点 $F$ 为弦 $C D$ 的中点，则线段 $E F =$ ．

查看试题解析
4. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，以 $A B$ 边上的动点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径作圆，将 $△ A O D$ 沿 $O D$ 翻折至 $△ A^{'} O D$ ，若 $⊙ O$ 过 $△ A^{'} O D$ 一边上的中点，则 $⊙ O$ 的半径为．

查看试题解析
5. 如图，等边 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $B C = 6$ ， D为弧 $A C$ 上一动点，过点B作射线 $D O$ 的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为．

查看试题解析
6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，过A，C，D的圆交 $B C$ 于点E，连结 $A E$ ，已知 $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C E}$ ， $∠ B A E = ∠ B E A$ ．若 $B E = \frac{5}{6} C E = \frac{25}{6}$ ，则圆的半径为．

查看试题解析
7. 如图，点C在以 $A B$ 为直径的半圆O上， $O A = \sqrt{5}$ ，点F是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $A D$ 平分 $∠ C A B$ 交 $B F$ 于点D，则 $∠ A D B =$ 度；当 $D B = D F$ 时，则 $B C$ 的长为．

查看试题解析
8. 已知以 $A B$ 为直径的圆O，C为 $A B$ 弧的中点，P为 $B C$ 弧上任意一点， $C D ⊥ C P$ 交 $A P$ 于D，连接 $B D$ ，若 $A B = 6$ ，则 $B D$ 的最小值为．

查看试题解析

二、综合题

9. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 与边 $A B$ 交于点 $D$ ， $E$ 为 $\overset{⌢}{B D}$ 的中点，连接 $C E$ ，与 $A B$ 交于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ A = 4 ∠ B$ ，求 $∠ E C B$ 的大小；

(2)、求证： $A C = A F$ ；

(3)、若 $B C = 6$ ， $\frac{E F}{F C} = \frac{1}{2}$ ，求 $△ A F C$ 的面积．

查看试题解析
10. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径 $A B = 10$ ，弦 $B C = 6$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上，线段 $A D$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 分别交 $⊙ O$ ， $A B$ 于点 $F$ ， $G$ ，连接 $B F$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ F G B$ ．

(2)、当 $△ F G B$ 为等腰三角形时，求 $C D$ 的长．

(3)、当 $∠ D = 45 °$ ，求 $E G : F G$ 的值．

查看试题解析
11. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ，对角线 $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B D$ 交 $A C$ 于点E，过点D作 $D F ⊥ D B$ ， $D F$ 交 $⊙ O$ 于点H，交 $B A$ 延长线于点F．

(1)、求 $∠ F H A$ 的度数．

(2)、求证： $A F = C B$ ．

(3)、过点F作 $F G ∥ B D$ 交 $C A$ 延长线于点G，求证： $F G^{2} + B E^{2} = 2 A G^{2}$ ．

查看试题解析
12. 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．

查看试题解析
13. 如图，在 $⊙ O$ 上按顺时针方向依次取点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ，且点 $B$ 是劣弧 $A C$ 的中点， $B D ⊥ D E$ ，弦 $C E$ 分别与弦 $A D$ ， $B D$ 相交于点 $M$ 、 $F$ ，连结 $A B$ ．

(1)、求证： $\overset{⌢}{C E} = \overset{⌢}{A E}$ ．

(2)、当 $B F = \sqrt{2} A B$ 时
①连结 $B C$ ，试判断 $△ B C F$ 的形状，并说明理由．
②若点 $M$ 为 $C E$ 的中点，求 $\frac{D M}{A M}$ 的值．

查看试题解析
14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $B C$ 于点D， $A E ⊥ O C$ ，垂足为E， $B E$ 的延长线交 $\overset{⌢}{A D}$ 于点F．

(1)、若 $A B = 6$ ，求 $O E$ 的长；

(2)、求 $\frac{O E}{A E}$ 的值；

(3)、求证： $△ A E B ∽ △ B E C$ ．

查看试题解析
15. 如图1，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在 $⊙ O$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $△ B C D$ 是等腰三角形．

(2)、如图2， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 与 $B C$ 相交于点 $P$ ．
①若 $C P = 14$ ， $D P = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．
②若 $D H ⊥ A C$ 于点 $H$ ，试探究线段 $C H$ ， $A B$ ， $D H$ 之间的数量关系，并说明理由．

查看试题解析
16. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $A G$ ， $D C$ 的延长线交于点 $F$ ，作 $A H ⊥ D G$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $∠ F G C = ∠ A G D$ ；

(2)、若 $∠ G D C = 30 °$ ， $G C$ 平分 $∠ D G F$ ，请在图2中补全图形并求出 $\frac{S_{△ C G F}}{S_{△ A G H}}$ 的值；

(3)、猜想线段 $D H$ ， $H G$ ， $C G$ 之间的数量关系，并证明你的结论．

查看试题解析
17. 如图，在 $⊙ O$ 中，直径所在的直线 $A O$ 垂直于弦 $B C$ ，连接 $A B$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ 交 $⊙ O$ 于点D，连接 $B D$ ．

(1)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(2)、求证： $B D = B A$ ；

(3)、小聪发现，如果将条件“ $C D ∥ A B$ ”改为“点D在弧 $A C$ 上”，过点A作 $A E ⊥ B D$ 于E，能得到一个一般性的结论“ $B E = C D + D E$ ”．请同学们完成证明．

查看试题解析
18. 如图1，已知 $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ， $G$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，连接 $A D$ ， $A G$ ， $D G$ ．

(1)、求证： $∠ A G D = ∠ A D C$ ；

(2)、如图2，延长 $A G, D C$ 相交于点 $F$ ，连接 $C G$ ．
①已知 $A G = 6, G F = 4$ ，求 $A D$ 的长；
②记 $D G$ 与 $A B$ 的交点为 $P$ ，若 $A B = 10, C D = 8$ ，当 $A G = A P$ 时，求 $\frac{F G}{D G}$ 的值．

查看试题解析
19. 如图，以 $A B$ 为直径作 $△ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点D，连结 $B D$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 20 °$ ，求 $∠ D$ 的度数．

(2)、若 $A C = 1$ ， $B D = \sqrt{5}$ ，求 $B C$ 与 $C D$ 的长．

(3)、猜想 $C D$ 与 $A C ， B C$ 的数量关系，并说明理由．

查看试题解析
20. 如图1， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D为 $A B$ 下方 $⊙ O$ 上一点，点C为弧 $A B D$ 的中点，连结 $C D$ ， $C A$ ， $A D$ ．

(1)、求证： $O C$ 平分 $∠ A C D$ ．

(2)、如图2，延长 $A C$ ， $D B$ 相交于点E．
①求证： $O C ∥ B E$ ．
②若 $C E = 4 \sqrt{5}$ ， $B D = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

查看试题解析
21. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C = 10$ ， $B C = 12$ ，点E为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点，点F为 $\overset{⌢}{C E}$ 的中点，连结 $B F$ 并延长与 $A E$ 交于点G，连 $A F$ ， $C F$ ．

(1)、求证： $∠ A F C = ∠ A F G$ ．

(2)、如图2，当 $B G$ 经过圆心O时，
①求 $F G$ 的长；
②记 $△ A F G$ ， $△ B F C$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ．则 $S_{1} : S_{2} =$ ．

查看试题解析
22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ B = a °$ ，点D，E分别在 $A B ， B C$ 上，线段 $D E$ 绕点D顺时针旋转得到 $D F$ ，其中旋转角 $∠ E D F = (180 - 2 a) °$ ，此时点F恰好落在 $A C$ 上，过点D，E，F的圆交 $B C$ 于点G，连接 $G F$ ．

(1)、若 $a = 35$ ，求 $∠ B G F$ 的度数；

(2)、求证： $B E = G F$ ；

(3)、如图2，过点F作 $F H ∥ A B$ 交 $B C$ 于点H，写出 $C H$ 与 $B E$ 的数量关系并证明你的结论．

查看试题解析
23. 【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，点 $O$ 为坐标原点， $⊙ O$ 的半径为1，点 $A (2, 0)$ .动点B在 $⊙ O$ 上，连结AB，作等边 $△ A B C$ （A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值．
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为_______．
【灵活运用】
（3）如图②， $B C = 4 \sqrt{3}$ ，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边在BD的右侧作等边 $△ A B D$ ，求AC的最小值．

查看试题解析
24. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O，连接 $O B$ ．

(1)、如图1，求证： $∠ O B C + ∠ A = 90 °$ ；

(2)、如图2， $C D ⊥ A B$ 于D交圆O于E， $O H ⊥ B C$ 于H，求证： $A E = 2 O H$ ；

(3)、如图3，在（2）的条件下，若 $O C$ 平分 $∠ B C E$ ，延长 $C O$ 交 $A B$ 于P， $A D = 3$ ， $B D = 8$ ，求 $O P$ 长．

查看试题解析
25. 已知：A、F、E、C四点在⊙O上，延长CE、AF交于点B ，且BE＝CE＝6．

(1)、若AE＝BE ，
①求证：BF＝CF；
②当∠B＝30°时，求∠FCA的度数．

(2)、若⊙O的半径为4，求AB²+AC²的最大值．

查看试题解析
26. 如图， $P A$ ， $P B$ 是 $⊙ O$ 的两条弦且 $P A > P B$ ，点 $C$ 是弧 $A B$ 的中点，点 $E$ 沿着弦 $A P$ 从点 $A$ 运动到点 $P$ ．

(1)、如图1，当 $A E = B P$ 时，连结 $C A$ ， $C E$ ， $C B$ ， $C P$ ．求证： $△ C A E ≌ △ C B P$ ；

(2)、如图2，当 $C E ⊥ A P$ 时，求证： $A E = P E + P B$ ；

(3)、如图3，当点 $E$ 运动到点 $P$ 时，连结 $P C$ 和 $A B$ ，如果 $A B$ 正好过圆心 $O$ 且 $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $P C = \sqrt{2}$ ．求此时 $A E$ 的长．

查看试题解析
27. 如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 内接三角形，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $△ A E D$ ，其中点 $D$ 在圆上，点 $E$ 在线段 $A C$ 上．

(1)、求证： $D E = D C$ ．

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B F ∥ C D$ 分别交 $A C$ 、 $A D$ 于点 $M$ 、 $N$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接 $A F$ ，求证： $A N \cdot B C = A F \cdot B M$ ．

(3)、在（2）的条件下，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值．

查看试题解析