《相似三角形》精选压轴题—2025年浙江省九（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD为∠BAC的角平分线，交BC于点D ．过点D作 $D E ∥ B A$ 交AC于点E ，点P在EC上，且∠EDP＝∠EDA ，若EP＝1，PC＝4，则BD的长为（）

A、 $\frac{10 \sqrt{2}}{9}$ B、 $\frac{10 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$

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2. 如图，在由6块直角三角形拼成的矩形 $A B C D$ 中，①②③④四个三角形全等，点 $E, F$ 分别是三角形②，①的直角顶点，则 $\frac{A E}{E F}$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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3. 如图，E，F，G，H分别是矩形 $A B C D$ 四条边上的点，连接 $E F ， G H$ 相交于点I，且 $G H ∥ A D$ ， $E F ∥ A B$ ，矩形 $B F I G ∽$ 矩形 $E I H D$ ，连接 $A C$ 交 $G H ， E F$ 于点P，Q，下列一定能求出 $△ D P Q$ 面积的条件是（）

A、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I H D$ 的面积之差 B、矩形 $A B C D$ 与矩形 $B F I G$ 的面积之差 C、矩形 $B F I G$ 和矩形 $F C H I$ 的面积之差 D、矩形 $B F I G$ 和矩形 $E I G A$ 的面积之差

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4. 如图、点 $E ， F 、 G$ 分别是正方形 $A B C D$ 边 $A B ， C D ， D A$ 上的点，且 $E G = G F ， ∠ E G F = 90 °$ ．连接 $E F$ 并延长，交 $A D$ 的延长线于点M，设 $∠ M = α$ ，则 $\frac{D G}{D F} =$ ( )

A、 $\frac{1 - \sin α}{1 + \sin α}$ B、 $\frac{1 + \sin α}{1 - \sin α}$ C、 $\frac{1 - \tan α}{1 + \tan α}$ D、 $\frac{1 + \tan α}{1 - \tan α}$

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二、填空题

5. 如图，点C是以AB为直径的半圆上的三等分点（BC＜AC），点E为AC上一动点，（不与点A、C重合），过点B作BF⊥AB与EC的延长线交于点F ，过点B作BG⊥OC于点G ，交EC于点H ，若OG＝2，H为CE的三等分点，EH的长为．

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6. 如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝．

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7. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以其三边为边在 $A B$ 的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为 $D E$ 的中点， $A B = 5$ ，则 $M N =$ ．

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8. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，且 $A B = 26$ ，点C为 $⊙ O$ 上半圆的一点， $C E ⊥ A B$ 于点E， $∠ O C E$ 的角平分线交 $⊙ O$ 于点D，弦 $A C = 10$ ，那么 $△ A C D$ 的面积是．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C, ∠ B A C$ 的平分线相交于点 $I, △ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的平分线 $C E$ ，交 $B I$ 的延长线于 $E$ ，连结 $C I$ ．若 $A B = 1$ ，且 $△ A B C$ 与 $△ I C E$ 相似，则 $A C$ 的长为．

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $E$ ， $F$ 分别为 $A B$ ， $C D$ 边的中点．动点 $P$ 从点 $E$ 出发沿 $E A$ 向点 $A$ 运动，同时，动点 $Q$ 从点 $F$ 出发沿 $F C$ 向点 $C$ 运动，连接 $P Q$ ，过点 $B$ 作 $B H ⊥ P Q$ 于点 $H$ ，连接 $D H$ ．若点 $P$ 的速度是点 $Q$ 的速度的2倍，在点 $P$ 从点 $E$ 运动至点 $A$ 的过程中，线段 $P Q$ 长度的最大值为，线段 $D H$ 长度的最小值为．

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11. 在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4 ， A D = 6$ ， E是 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ，过点D作 $D F ⊥ A E$ 于点F．
（1）线段 $D F$ 的长为；
（2）连接 $A C$ ，若 $A C$ 交 $D F$ 于点M，则 $\frac{C M}{A M} ＝$ ．

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三、综合题

12. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，弦 $C F ⊥ A D$ 于点 $H$ ， $C F$ 与 $A B$ 交于点 $P$ ， $A F$ ， $C D$ 的延长线交于点 $G$ ．连接 $A C$ ， $D F$ ．

(1)、直接写出图中所有与 $∠ D A F$ 相等的角；

(2)、求证： $△ A C P ≌ △ A D F$ ；

(3)、若 $A C = 3 D F = 3$ ，求 $A H$ 的长．

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13. 如图，点C在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上．将 $⊙ O$ 沿直径 $A B$ 对折，点C落在 $⊙ O$ 上的点D处，分别连接 $A C$ ， $C D$ ， $A D$ ， $A B$ 与 $C D$ 交于点E．另有一动点F在 $\overset{⌢}{A D}$ 上运动，连接 $C F$ 交 $A B$ 于点G，交 $A D$ 于点H．

(1)、当 $C F$ 平分 $∠ A C D$ 时．
①连结 $B C$ ，求证： $B C = B G$ ．
②若 $E G = E B$ ，求 $\frac{C G}{A D}$ 的值．

(2)、当 $C F ⊥ A D$ 时，探究线段 $A F$ 与 $O E$ 的长度关系．

(3)、如图2，若点F运动到 $\overset{⌢}{C B D}$ 上， $A F$ 交 $C D$ 于点I，求证： $A C^{2} - A I^{2} = C I \cdot D I$ ．

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14. 如图1， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A C$ ，过点C作 $C D ∥ A B$ ，交 $⊙ O$ 于D，过D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，交 $B C$ 于点M，连结 $A D$ ．

(1)、求证：
① $A D = B C$ ；
② $A D^{2} = 2 A E \cdot A B$ ；

(2)、如图2，若 $M$ 是 $B C$ 中点，求 $\frac{A B}{B C}$ 的值．

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15. 如图 $1$ ，已知 $⊙ O$ 是 $Rt △ A B C$ 的外接圆， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，过 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于 $E$ ，交 $B C$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $D F = B F$ ；

(2)、如图 $2$ ，延长 $A C$ ， $E D$ 交于点 $G$ ，连接 $A D$ ．
$①$ 求证： $D E^{2} = E F \cdot E G$ ；
$②$ 若 $\frac{B E}{B D} = m$ ，求 $\frac{A C + A B}{A D}$ 的值．（用含 $m$ 的式子表示）

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 4$ ，点 $E$ 为弧 $A C$ 的中点，连接 $A C, B E$ 交于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F, A F = 3$ ．

(1)、求证： $A D = A F$ ；

(2)、求 $△ A B D$ 的周长；

(3)、若点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一点，当 $△ A E P$ 为等腰三角形时，求 $A P$ 的长．

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17. 如图1， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 内接三角形，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $△ A E D$ ，其中点 $D$ 在圆上，点 $E$ 在线段AC上

(1)、求证：DE=DC.

(2)、如图2，过点B作 $B F / / C D$ 分别交AC、AD于点M、N，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连接AF，求证： $A N \cdot B C = A F \cdot B M$ .

(3)、在（2）的条件下，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值.

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D E ⊥ A C$ 于点 $F$ 交 $B C$ 于点 $E$ ．

(1)、设 $∠ D B C = α$ ，试用含 $α$ 的代数式表示 $∠ A D E$ ；

(2)、如图2，若 $B E = 3 C E$ ，求 $\frac{B D}{D E}$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，作 $E Q ⊥ B D$ 交 $B D$ 于 $Q$ ，若 $B C = B D$ ，求出 $\frac{Q D}{E D}$ 的值．

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 4$ ，点 $E$ 为弧 $A C$ 的中点，连接 $A C, B E$ 交于点 $D$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ A B$ 交 $B E$ 的延长线于点 $F, A F = 3$ ．

(1)、求证： $A D = A F$ ；

(2)、求 $△ A B D$ 的周长；

(3)、若点 $P$ 为 $⊙ O$ 上一点，当 $△ A E P$ 为等腰三角形时，求 $A P$ 的长．

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四、实践探究题

20. 如图，点C是以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上一点，过 $A C$ 中点D作 $D E ⊥ A B$ 于点E，延长 $D E$ 交 $⊙ O$ 于点F，连结 $C F$ 交 $A B$ 于点G，连结 $A F$ ， $B F$ ．
【认识图形】
（1）求证： $△ A F D ∽ △ A C F$ ．
【探索关系】
（2）①求 $C F$ 与 $D F$ 的数量关系．
②设 $\frac{C G}{F G} = x$ ， $\frac{D E}{E F} = y$ ，求y关于x的函数关系．
【解决问题】
（3）若 $C G = 4 \sqrt{2}$ ， $F G = 6 \sqrt{2}$ ，求 $A E$ 的长．

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21. 综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B ， D ，连接AD ， AB ， BC ， CD ，如果∠B＝∠D ，那么A ， B ， C ， D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A ， C ， D的⊙O ，在劣弧AC上取一点E（不与A ， C重合），连接AE ， CE ，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A ， B ， C ， E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B ， D在点A ， C ， E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A ， B ， C ， D四点在同一个圆上

(1)、反思归纳：
上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：；依据2：．

(2)、如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为．

(3)、拓展探究：
如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC ，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD ．作点C关于AD的对称点E ，连接EB并延长交AD的延长线于F ，连接AE ， DE ．
①求证：A ， D ， B ， E四点共圆；
②若AB＝2 $\sqrt{2}$ ， AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

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