《二次函数》精选压轴题（三）—2025年浙江省九（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. 已知抛物线 $y = x^{2} - 2 m x (- 1 ⩽ m ⩽ 2)$ 经过点 $A (p, t)$ 和点 $B (p + 2, t)$ ，则 $t$ 的最小值是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、1

查看试题解析
2. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $c$ 为常数）经过点 $(4, c)$ ，一元二次方程 $x^{2} + b x + c = m$ 的两个解为p，q，当 $1 \leq q - p < 6$ 时，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $c - 4 ⩽ m < c + 5$ B、 $c - \frac{15}{4} ⩽ m < c + 5$ C、 $c < m ⩽ c + 5$ D、 $c - 3 ⩽ m < c + 24$

查看试题解析
3. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{8}{3} x - 3$ 与轴交于点 $A$ 和点 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $D$ 点为抛物线上第三象限内一动点，当 $∠ A C D + 2 ∠ A B C = 180 °$ 时，点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 8, - 3)$ B、 $(- 7, - \frac{16}{3})$ C、 $(- 6, - 7)$ D、 $(- 5, - 8)$

查看试题解析
4. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口 $A B = 8 c m$ ，杯底 $C D = 4 c m$ ，且 $A B / / C D$ ，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜 $4 5^{°}$ ，水面正好经过点 $B$ （即 $∠ A B P = 4 5^{°}$ ）.嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在 $y$ 轴上），对于下列结论，其中不正确的是（）

A、玻璃水杯轮廊线所在抛物线的解析式为 $y = x^{2} - 16$ B、直线PB的解析式为 $y = x - 4$ C、点 $P$ 到杯口AB的距离为5 D、点 $P$ 到点 $D$ 的距离为 $5 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、填空题

5. 函数 $y = - x^{2} + 2 a x - 2$ 在 $- 1 \leq x \leq 3$ 有最大值6，则实数 $a$ 的值是.

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系内，已知点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (1, 1)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 1$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $A B$ 有两个不同的交点，则的取值范围是．

查看试题解析
7. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (1, 3)$ ， $B (4, 1)$ ，连结 $A B$ ，在线段 $A B$ 上有一动点P ，过点P作 $P M ⊥ x$ 轴， $P N ⊥ y$ 轴，垂足分别是M ， N ，记四边形 $O M P N$ 的面积为S ，则S的取值范围是．

查看试题解析
8. 若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当0<x< $\frac{1}{2}$ m+2时，总有y>2，则m的取值范围是．

查看试题解析
9. 在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax²－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是．

查看试题解析
10. 设二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x
…
-3
-2
-1
0
…
y
…
n
1
p
1
…
有以下结论：①函数图象的对称轴是直线x＝1；②若p、n都是正数，则a的取值范围是﹣ $\frac{1}{3}$ ＜a＜1且a≠0；③当﹣2≤x≤0时，恒有y≥0，则a的取值范围是0＜a≤1．其中正确的结论是．（只填序号）

查看试题解析
11. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 是常数， $a \neq 0)$ 图象的对称轴是直线 $x = 1$ ，其图象一部分如图所示，对于下列说法：① $a b c < 0$ ；② $2 c > 3 b$ ；③方程 $a x^{2} + (b - \frac{1}{2}) x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；④ $a \geq a m^{2} + b (m - 1)$ （ $m$ 为任意实数）.其中正确的是.（填写序号）

查看试题解析

三、解答题

12. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （b ， c为常数）的图象经过点 $A (- 3, 9)$ ，对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、若点 $B (1, 2)$ 向左平移m（ $m > 0$ ）个单位长度，向上平移（ $m + 4$ ）个单位长度后，恰好落在 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象上，求m的值并判断点 $C (m - 3, - m + 10)$ 是否落在 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像上；

(3)、当 $- 2 ⩽ x ⩽ n$ 时，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．

查看试题解析
13. 如图，以点 $A$ 为顶点的抛物线 $y = \frac{1}{2} (x - m)^{2} + k$ 交直线 $A B : y = - \frac{3}{2} x - \frac{1}{2}$ 于另一点 $B$ ，过点 $B$ 作平行于 $x$ 轴的直线，交该抛物线于另一点 $C$ .

(1)、用含 $m$ 的代数式表示 $k$ 的值.

(2)、若 $B C = 2 m + 4$ .
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线BC下方的抛物线上，是否存在点 $P$ ，使得 $△ B C P$ 的面积和 $△ A B C$ 的面积比是5：9?若存在，请写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
14. 我国著名的数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事非"这里一语成偈，道出了"数"和"形”不可分割的特点仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：

(1)、如图1，画出了二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的部分图象，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的解为

(2)、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + k = 0$ 有两个实数根m，n，且 $m > n$ ，若 $2 < m < 3$ ，求 $k$ 的取值范围；

(3)、已知方程 $x^{3} + x - 3 = 0$ .
①直接回答此方程有几个实数根；
②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分!）【友情提示：图2已给出函数 $y = x^{3}$ 的图象】

查看试题解析
15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + c$ 与轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ 使以 $A$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
16. 如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与x与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为(−1，0)．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．

(3)、如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC=45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
17. 如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2 $\sqrt{2}$ ，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．

(1)、图2中a＝；当t＝1时，照亮的区域面积S＝．

(2)、当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；

(3)、若存在三个时刻t₁、t₂、t₃（t₁＜t₂＜t₃）对应的正方形的面积均相等．①t₁+t₂＝；②当t₃＝4t₁时，则正方形GPEF的面积为．

查看试题解析

x	…	-3	-2	-1	0	…
y	…	n	1	p	1	…