《二次函数》精选压轴题（二）—2025年浙江省九（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知二次函数y＝﹣（x﹣1）²+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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2. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 都是正整数）的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A (x_{1}, 0), B (x_{2}, 0)$ ．若 $| x_{1} |$ 和 $| x_{2} |$ 都大于1，则下列说法错误的是（）

A、 $b > 2 a$ B、 $a > c$ C、 $a + c > b$ D、 $a b c$ 的最小值是25

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3. 已知二次函数 $y = 4 (x - a) (x - b) + 1$ （a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（　　）

A、若 $2 < a < 3, 2 < b < 3$ ，则 $k < 0$ B、若 $2 < a < 3, 2 < b < 3$ ，则 $0 < k < 1$ C、若 $2 < a < 3, 3 < b < 4$ ，则 $k < - 3$ D、若 $2 < a < 3, 3 < b < 4$ ，则 $k > - 3$

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4. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{8}{3} x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $D$ 点为抛物线上第三象限内一动点，当 $∠ A C D + 2 ∠ A B C = 180 °$ 时，点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 8, - 3)$ B、 $(- 7, - \frac{16}{3})$ C、 $(- 6, - 7)$ D、 $(- 5, - 8)$

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5. 在平面直角坐标系中，过点P(0，p)的直线AB交抛物线 $y = x_{}^{2}$ 于A、B两点，已知A(a，b)，B(c，a)，且 $a < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a c < 0$ 且 $c - a = 1$ 时，p有最大值 B、当 $a c < 0$ 且 $c - a = 1$ 时，p有最小值 C、当 $a c > 0$ 且 $a + c = 1$ 时，p有最大值 D、当 $a c > 0$ 且 $a + c = 1$ 时，p有最小值

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6. 某弹性小球从地面以初速度 $v$ （米/秒）竖直向上抛出，其高度 $h$ （米）与时间 $t$ （秒）的关系为 $h = v t - 4.9 t^{2}$ ．当初速度为 $v_{1}$ 时，达到最大高度 $h_{1}$ 后落回地面用时 $t_{1}$ （如图1）；落地后再次以初速度 $v_{2}$ 竖直向上弹起至最大高度 $h_{2}$ ，再落回地面用时 $t_{2}$ （如图2）．已知 $h_{1} : h_{2} = 5 : 2$ ，则 $v_{1} : v_{2}$ 的值为（）

A、5：2 B、 $\sqrt{5} ： 2$ C、3：2 D、 $\sqrt{10} ： 2$

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7. 在平面直角坐标系中，如果点 $P$ 的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点 $P$ 为“美丽点”．例如：点 $(1, - 1)$ ， $(- 2, 2)$ ， $(\sqrt{3}, - \sqrt{3})$ ， …都是“美丽点”．若二次函数 $y = a x^{2} + 3 x + 1$ （ $a \neq 0$ ）的图象上有且只有一个“美丽点”，且当 $- 2 \leq x \leq m$ 时，函数 $y = (a - 1) x^{2} + 3 x + 1$ （ $a \neq 0$ ）的最小值为 $\frac{1}{4}$ ，最大值为 $7$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq - \frac{1}{2}$ B、 $m \geq - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1$ D、 $- \frac{1}{2} < m < 1$

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8. 已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为 $x = \frac{3}{2}$ ，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a+b=0；②若点 $(\frac{1}{2}, y_{1})$ ，（3，y₂）是抛物线上的两点，则y₁<y₂；③10b-3c=0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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9. 如图，已知抛物线 $y_{1} = - 2 x^{2} + 2$ ，直线 $y_{2} = 2 x + 2$ ，当x任取一值时，x对应的函数值分别为 $y_{1} 、 y_{2}$ ．若 $y_{1} \neq y_{2}$ ，取 $y_{1} 、 y_{2}$ 中的较小值记为M；若 $y_{1} = y_{2}$ ，记 $M = y_{1} = y_{2}$ ．例如：当 $x = 1$ 时， $y_{1} = 0, y_{2} = 4, y_{1} < y_{2}$ ，此时 $M = 0$ ．下列判断：
①当 $x > 0$ 时， $y_{1} > y_{2}$ ；
②当 $x < 0$ 时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在；
④使得 $M = 1$ 的x值是 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
其中正确的是（）

A、①② B、①④ C、②③ D、③④

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10. 如图是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A ， B两点，下列结论：
①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁ ．其中正确结论的个数是（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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11. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于不同两点，与y轴的交点在y轴正半轴，它的对称轴为直线x＝1，有以下结论：①abc＜0，②2a+b＝0，③抛物线上有两点P（x₁ ， y₁）和Q（x₂ ， y₂），若x₁＜1＜x₂ ，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂ ， ④设x₁ ， x₂是方程ax²+bx+c＝0的两根，若am²+bm+c＝p ，则p（m﹣x₁）（m﹣x₂）≤0，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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二、填空题

12. 当 $a \leq x \leq a + 1$ 时，函数 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的最小值为4，则a的值为.

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13. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ ．当 $x > 1$ 时，函数的最大值为2；当 $x \leq 1$ 时，函数的最大值为1，则 $b c =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、0 D、 $- 8$

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14. 在平面直角坐标系内，已知点 $A (- 1, 0)$ ，点 $B (1, 1)$ ，若抛物线 $y = a x^{2} - x + 1$ （ $a \neq 0$ ）与线段 $A B$ 有两个不同的交点，则 $a$ 的取值范围是

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ， $C (x_{3}, y_{3})$ 是二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 1$ 图象上三点.若 $0 < x_{1} < 1$ ， $x_{2} > 4$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）；若对于 $m < x_{1} < m + 1$ ， $m + 1 < x_{2} < m + 2$ ， $m + 2 < x_{3} < m + 3$ ，存在 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是.

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16. 在二次函数y＝ax²+bx+c中，x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣2
0
2
3
…
y
…
8
0
0
3
…
则下列说法：①该二次函数的图象经过原点；②该二次函数的图象开口向下；③当x＞0时，y随着x的增大而增大；④该二次函数的图象经过点（-1，3）；⑤方程ax²+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是.

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三、解答题

17. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1, 2)$ 、 $B (2, 2)$ 、 $C (3, - 2)$ ，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 在 $x$ 轴上方图象上一点，动直线 $y = - \frac{1}{2} x + t$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $D 、 E$ ．

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、当以 $A 、 C 、 P$ 为顶点的三角形面积为6时，求出 $P$ 点的坐标；

(3)、当 $t < 0$ ，点 $Q$ 在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上运动时，是否存在点 $Q$ ，使得以 $D$ 为直角顶点的 $△ Q D E$ 与 $△ D O E$ 相似，若存在，请求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

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18. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交抛物线于点 $C (2, m)$ ．

(1)、求抛物线的解析式．

(2)、点 $P$ 是线段 $A C$ 上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $E$ ，求线段 $P E$ 最大时点 $P$ 的坐标．

(3)、点 $F$ 是抛物线上的动点，在 $x$ 轴的正半轴上是否存在点 $D$ ，使得以点 $A$ ， $C$ ， $D$ ， $F$ 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 $D$ 的坐标；如果不存在，请说明理由．

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19. 定义：若抛物线的顶点和与 $x$ 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．
概念理解：
（1）如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点．试证明：以点 $A$ 为顶点，且与 $x$ 轴交于 $D 、 C$ 两点的抛物线是正抛物线；
问题探究：
（2）已知一条抛物线经过 $x$ 轴的两点 $E 、 F$ （ $E$ 在 $F$ 的左边）， $E (1, 0)$ 且 $E F = 2$ 若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；
应用拓展：
（3）将抛物线 $y_{1} = - x^{2} + 2 \sqrt{3} x + 9$ 向下平移 $9$ 个单位后得新的抛物线 $y_{2}$ ．抛物线 $y_{2}$ 的顶点为 $P$ ，与 $x$ 轴的两个交点分别为 $M 、 N$ （ $M$ 在 $N$ 左侧），把 $△ P M N$ 沿 $x$ 轴正半轴无滑动翻滚，当边 $P N$ 与 $x$ 轴重合时记为第 $1$ 次翻滚，当边 $P M$ 与 $x$ 轴重合时记为第 $2$ 次翻滚，依此类推 $\dots$ ，请求出当第 $2025$ 次翻滚后抛物线 $y_{2}$ 的顶点 $P$ 的对应点坐标．

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20. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 是矩形， $A B = 4$ ，将线段 $O A$ 绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在 $O C$ 边上的点E处，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过A ， E ， B三点．

(1)、填空： $a =$ ； $b =$ ．

(2)、若点M是抛物线对称轴上的一动点，当 $△ M B E$ 的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求 $△ M B E$ 外接圆圆心F的坐标．

(3)、在（2）的条件下，点P是 $x$ 轴上一动点，当 $∠ B P E = ∠ M B E$ 时，求点P的坐标．

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21. 如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线 $y = - x_{}^{2} + b x + c$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；

(3)、P是直线AB上方抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在点P，使得以点A，C，P，Q为顶点的平行四边形面积最大？若存在，请求出最大面积；若不存在，请说明理由．

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22. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} - 4 x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(- 5, 0)$ ．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、如图1，若点 $P$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $P$ 到直线 $A C$ 距离的最大值；

(3)、如图2，若点 $M$ 是抛物线上一点，点 $N$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $M$ 使以 $A$ ， $C$ ， $M$ ， $N$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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23. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = x^{2} + (k - 1) x - k$ 与直线 $y = k x + 1$ 交于A，B两点，点 $A$ 在点 $B$ 的左侧.

(1)、如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

(2)、在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出AABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)、如图2，抛物线 $y = x^{2} + (k - 1) x - k (k > 0)$ 与 $x$ 轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线 $y = k x + 1$ 上是否存在唯一一点 $Q$ ，使得 $∠ O Q C = 9 0^{°}$ ?若存在，请求出此时 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

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24. 如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + c$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为 $(- 1, 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、如图2，y轴上存在一点D，使 $⊙ D$ 经过B，C两点，求点D的坐标；

(3)、如图3，连结 $B C$ ，点 $P ($ 不与A，B，C三点重合 $)$ 为抛物线上一动点，连结 $B P$ ，在点P运动过程中，是否能够使得 $∠ P B C = 45 °$ ？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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25. 已知，抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 经过点 $M (2, - 1)$ ．

(1)、求抛物线的对称轴；

(2)、若点 $N (1, - 2)$ 在抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 上，将抛物线向左平移2个单位长度得抛物线 $W$ ．当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，求函数 $W$ 的最大值与最小值．

(3)、抛物线 $y = m x^{2} + n x - 1 (m > 0)$ 与 $x$ 轴交点为 $P, Q$ （点 $P$ 在点 $Q$ 左边）．若 $3 < P Q < 4$ ，求证 $\frac{1}{3} < m < \frac{4}{5}$ ．

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x	…	﹣2	0	2	3	…
y	…	8	0	0	3	…