《二次函数》精选压轴题（一）—2025年浙江省九（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象经过点 $P$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当 $m \leq x \leq 4$ 时，总有 $- 1 \leq y \leq 4 m$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $4 + \sqrt{13}$ B、 $4 - \sqrt{13}$ C、 $4 \pm \sqrt{13}$ D、 $\frac{3}{4}$

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2. 已知 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > 0$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 都是大于1的数，若满足 $a_{1} (x_{1} + 1) (x_{1} - 1) = 1$ ， $a_{2} (x_{2} + 1) (x_{2} - 1) = 2$ ， $a_{3} (x_{3} + 1) (x_{3} - 1) = 3$ ，则（）

A、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ B、 $x_{1} = x_{2} = x_{3}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$

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3. 二次函数 $y = x^{2} + 2 x + c$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点为 $A (x_{1} ， 0)$ ， $B (x_{2} ， 0)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，点 $P (m ， n)$ 是图象上一点，那么下列判断正确的是（）

A、当 $n > 0$ 时， $m < x_{1}$ B、当 $n > 0$ 时， $m > x_{2}$ C、当 $n < 0$ 时， $m < 0$ D、当 $n < 0$ 时， $x_{1} < m < x_{2}$

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4. 设二次函数 $y = a x^{2} + c$ （a，c为实数， $a \neq 0$ ， $c ＞ 0$ ）的图象过点 $(- 3, y_{1})$ ， $(- 1, y_{2})$ ， $(2, y_{3})$ ， $(4, y_{4})$ ，（　　）

A、若 $y_{1} y_{4} > 0 ， y_{2} + y_{3} > 0$ ，则 $a > 0$ B、若 $y_{1} y_{4} > 0 ， y_{2} + y_{3} < 0$ ，则 $a > 0$ C、若 $y_{1} y_{4} < 0 ， y_{2} + y_{3} > 0$ ，则 $a < 0$ D、若 $y_{1} y_{4} < 0 ， y_{2} + y_{3} < 0$ ，则 $a < 0$

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5. 已知二次函数 $y = a (x + m - 1) (x - m) (a \neq 0)$ 的图象上有两点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和 $B (x_{2} ， y_{2})$ (其中 $x_{1} < x_{2}$ )，则( )

A、若 $a > 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} < 1$ 时， $a (y_{1} - y_{2}) < 0$ B、若 $a > 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} < 1$ 时， $a (y_{1} - y_{2}) > 0$ C、若 $a < 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} > - 1$ 时， $a (y_{1} - y_{2}) < 0$ D、若 $a < 0$ ，当 $x_{1} + x_{2} > - 1$ 时， $a (y_{1} - y_{2}) > 0$

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6. 已知关于x的二次函数 $y = (x - a) (x - b) - x$ 的图象与x轴的交点坐标是 $(c, 0)$ 和 $(d, 0)$ ，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数 $y = (x - c) (x - d) + x$ 与x轴的交点坐标是（　　）

A、 $(a, 0)$ 和 $(b, 0)$ B、 $(- a, 0)$ 和 $(- b, 0)$ C、 $(c, 0)$ 和 $(d, 0)$ D、 $(- c, 0)$ 和 $(- d, 0)$

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7. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $c$ 为常数）经过点 $(4, c)$ ，一元二次方程 $x^{2} + b x + c = m$ 的两个解为 $p$ ， $q$ ，当 $1 \leq q - p < 6$ 时，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $c - 4 \leq m < c + 5$ B、 $c - \frac{15}{4} \leq m < c + 5$ C、 $c < m \leq c + 5$ D、 $c - 3 \leq m < c + 24$

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8. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向下，过 $A (- 1, 0)$ ， $B (m, 0)$ 两点，且 $1 < m < 2$ ．甲同学认为：若点 $M (x_{1}, y_{1})$ ， $N (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线上， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 1$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ．乙同学认为：当 $a \leq - 1$ 时，关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 1$ 必有两个不相等的实数根，以下对两位同学的看法判断正确的是（）

A、甲、乙都正确 B、甲、乙都错误 C、甲正确，乙错误 D、甲错误，乙正确

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9. 定义符号的含义 $m i n \{a, b\}$ 为：当 $a \geq b$ 时 $m i n {a, b} = b$ ；当 $a < b$ 时 $m i n {a, b} = a$ ．如： $m i n {1, - 3} = - 3, m i n {- 4, - 2} = - 4$ ．则 $m i n \{- x^{2} + 1, - x\}$ 的最大值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、1 D、0

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10. 抛物线 $y = m x^{2} + 4 m x - 4$ 上有 $(2, y_{1})$ ， $(3, y_{2})$ ， $(- 2 + \sqrt{2}, y_{3})$ ， $(- 2 - \sqrt{2}, y_{4})$ 四点，若 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ， $y_{4}$ 四个数中有且只有一个大于零，则m的取值范围为（）

A、 $m \leq \frac{4}{21}$ B、 $m < \frac{1}{3}$ C、 $\frac{4}{21} \leq m < \frac{1}{3}$ D、 $\frac{4}{21} < m \leq \frac{1}{3}$

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11. 如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线 $A C$ ， $B D$ 为某抛物线的一部分，杯口 $A B = 8 cm$ ，杯底 $C D = 4 cm$ ，且 $A B ∥ C D$ ，杯深 $12 cm$ ．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜 $45 °$ ，水面正好经过点 $B$ （即 $∠ A B P = 45 °$ ）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（）

A、玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 $y = x^{2} - 16$ B、直线 $P B$ 的解析式为 $y = x - 4$ C、点 $P$ 到杯口 $A B$ 的距离为 $5 cm$ D、点 $P$ 到点 $D$ 的距离为 $5 \sqrt{2} cm$

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12. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $(- 3, 0)$ ，其对称轴为直线 $x = - \frac{1}{2}$ ，结合图象分析下列结论：① $a b c > 0$ ， ② $3 a + c < 0$ ， ③当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大，④ $\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} < 0$ ， ⑤若m，n（ $m < n$ ）为方程 $a (x + 3) (x - 2) + 3 = 0$ 的两个根，则 $m < - 3$ 且 $n > 2$ ．其中正确的结论有（）

A、①③ B、①②④ C、②④⑤ D、①④⑤

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13. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + 2 m - 4$ ，下列说法中正确的个数是（）
（1）当 $m = 0$ 时，此抛物线图象关于 $y$ 轴对称；
（2）若点 $A (m - 2, y_{1})$ ，点 $B (m + 1, y_{2})$ 在此函数图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ ；
（3）若此抛物线与直线 $y = x - 4$ 有且只有一个交点，则 $m = - \frac{1}{4}$ ；
（4）无论 $m$ 为何值，此抛物线的顶点到直线 $y = 2 x$ 的距离都等于 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ．

A、1 B、2 C、3 D、4

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14. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于不同两点，与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴正半轴，它的对称轴为直线 $x = 1$ ，有以下结论： ① $a b c < 0$ ， ② $2 a + b = 0$ ， ③抛物线上有两点 $P (x_{1}, y_{1})$ 和 $Q (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ， ④设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程． $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，若 $a m^{2} + b m + c = p$ 则 $p (m - x_{1}) (m - x_{2}) \leq 0$ ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①② C、③④ D、①②③④

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15. 如图是抛物线y₁＝ax²+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y₂＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y₂＜y₁ ．其中正确结论的个数是（　　）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

16. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 n x + 3 (n > 0)$ ，点 $A (m - 2, a)$ ， $B (4, b)$ ， $C (m, a)$ 都在这个二次函数的图象上，且 $a < b < 3$ ，则 $m$ 的取值范围是．

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17. 已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + 1$ 上的两点，其对称轴是直线 $x = x_{0}$ ，若 $|x_{1} - x_{0}| >$ $|x_{2} - x_{0}|$ 时，总有 $y_{1} > y_{2}$ ，同一坐标系中有 $M (- 2, 0)$ ， $N (4, 0)$ ，且抛物线与线段MN有两个不相同的交点，则a的取值范围是．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”，抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + 2 a$ （a为常数）与直线 $y = x$ 交于M、N两点，若线段 $M N$ 与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是．

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19. 如图，抛物线与x轴交于 $A (1, 0)$ 、 $B (- 3, 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0, 3)$ ，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与 $△ B C D$ 相似．则点P的坐标．

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20. 如图，一段抛物线：y=-x(x-3)（0≤x≤3），记为C₁ ，它与x轴交于点O，A₁；
将C₁绕点A₁旋转180°得C₂ ，交x 轴于点A₂；
将C₂绕点A₂旋转180°得C₃ ，交x 轴于点A₃；
……
如此进行下去，直至得C₁₃ ．若P（37，m）
在第13段抛物线C₁₃上，则m = ．

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21. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）图象的对称轴是直线 $x = 1$ ，其图象一部分如图所示，对于下列说法：
① $a b c < 0$ ；② $2 c > 3 b$ ；③方程 $a x^{2} + (b - \frac{1}{2}) x + c = 0$ 有两个不相等的实数根；④ $a \geq a m^{2} + b (m - 1)$ （ $m$ 为任意实数）．其中正确的是．（填写序号）

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22. 在综合实践“研究轴对称图形”活动中，小明同学发现一个有趣的现象：过抛物线与坐标轴的三个交点的圆的圆心总落在抛物线的对称轴上．小明想：如果知道抛物线的表达式，那就一定能求出过抛物线与坐标轴三个交点的圆的半径．请计算，若已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ ，设该抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，那么经过A，B，C三点的圆的半径长是．

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三、解答题

23. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + 8$ 与直线 $y = x + 2$ 相交于 $A (- 2 ， 0), B (3, m)$ 两点，与x轴相交于另一点C．

(1)、请直接写出 $m =$ ， $b =$ ．

(2)、点P是直线 $A B$ 上方抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点D，交直线 $A B$ 于点E，当 $P E = 2 E D$ 时，求点P的坐标．

(3)、抛物线上是否存在点M使 $△ A B M$ 的面积等于 $△ A B C$ 面积的一半，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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24. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0, 2)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ ，点G坐标为 $(1, 0)$ ，点C在边 $A G$ 上运动，延长 $O C$ 交抛物线于点B，连结 $B G$ ，分别记 $△ O B G$ ， $△ O C G$ 的面积为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ．

(1)、求该抛物线表达式．

(2)、若点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{1} + 1, y_{2})$ 均在抛物线上，且 $x_{1} > 0$ ， ${(y_{1} - y_{2})}^{2} = 4$ ，请比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 大小，并说明理由．

(3)、记 $t = \frac{S_{1}}{S_{2}}$ ，直线 $O B$ 的表达式为 $y = \frac{y_{B}}{x_{B}} x$ ，求t关于 $x_{B}$ 函数表达式，并求t的最大值．

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25. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴正半轴交于点 $A (3, 0)$ ，与y轴交于点 $B (0 ， 3)$ ，点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线 $A B$ 于点D，设 $P (x, 0)$ ．

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、当 $0 < x < 3$ 时，求线段 $C D$ 的最大值；

(3)、在 $△ P D B$ 和 $△ C D B$ 中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的值；

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26. 如图，顶点为C的抛物线 $y = a x^{2} - 3 a$ 与x轴交于A、B两点，连结 $B C$ ，直线 $A E ⊥ B C$ ，垂足为E交y轴于点D，且 $C D = 2$ ．

(1)、求A、B两点的坐标及a的值；

(2)、过点B作x轴的垂线与直线 $A E$ 交于点F，把（1）中的抛物线向右平移K个单位，使抛物线与线段 $B F$ 有交点，试求K的取值范围；

(3)、 $△ Q G H$ 与 $△ C O B$ 关于x轴成轴对称，如图2，把 $△ Q G H$ 沿y轴以每秒1个单位向上平移，当Q点与D点重合时，停止运动，记运动时间为t，设 $△ Q G H$ 与 $△ C O B$ 重叠部分的面积为S，求S与运动时间t的函数关系式．问S是否有最大值，若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．

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27. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (3, 0)$ 两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

(1)、求二次函数的解析式：

(2)、如图甲，连接 $A C ， P A ， P C$ ，若 $S_{△ P A C} = 3$ ，求点P的坐标；

(3)、如图乙，过A，B，P三点作 $⊙ M$ ，过点P作 $P E ⊥ x$ 轴，垂足为D，交 $⊙ M$ 于点E．点P在运动过程中线段 $D E$ 的长是否变化，若有变化，求出 $D E$ 的取值范围；若不变，求 $D E$ 的长．

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28. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $A O C B$ 是矩形， $A B = 4$ ，将线段 $O A$ 绕点O按顺时针方向旋转90°，使点A落在 $O C$ 边上的点E处，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 过A，E，B三点．

(1)、填空： $a =$ ； $b =$ ．

(2)、若点M是抛物线对称轴上的一动点，当 $△ M B E$ 的周长最小时：
①求点M的坐标；
②求 $△ M B E$ 外接圆圆心F的坐标．

(3)、在（2）的条件下，点P是 $x$ 轴上一动点，当 $∠ B P E = ∠ M B E$ 时，求点P的坐标．

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