《三角形的综合》精选压轴题（三）—2025年浙江省八（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形 $E F G H$ 拼成了一个大正方形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，交 $B E$ 于点 $P$ ，若正方形 $A B C D$ 的面积为30， $A E + B E = 7$ ．则 $S_{△ C F P} - S_{△ A E P}$ 的值是（）

A、 $5.5$ B、 $6.5$ C、7 D、 $7.5$

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 8$ ， $A B = 6$ ， $∠ C < 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $A C$ ， $A B$ 上，连结 $D F$ ， $D E$ ．已知点 $B$ 和点 $E$ 关于直线 $D F$ 对称．若 $E D = C D$ ，则 $C E$ 的长为（　　）

A、 $\frac{23}{4}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{21}{4}$ D、 $\frac{11}{2}$

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3. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C 、 ∠ E A C$ 的角平分线 $B P 、 A P$ 交于点P，延长 $B A 、 B C$ ， $P M ⊥ B E ， P N ⊥ B F$ ，则下列结论中正确的是（）
① $C P$ 平分 $∠ A C F$ ；
② $∠ A B C + 2 ∠ A P C = 180 °$ ；
③ $∠ A C B = 2 ∠ A P B$ ；
④ $S_{△ P A C} = S_{△ M A P} + S_{△ N C P}$ ．

A、①②④ B、①③④ C、②③④ D、①②③④

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4. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $D$ 为斜边 $A B$ 的中点， $Rt △ E D F$ 在 $△ A B C$ 内绕点 $D$ 转动，分别边 $A C$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ （点 $E$ 不与点 $A$ 、 $C$ 重合），下列说法正确的是（　　）
① $∠ D E F = 45 °$ ；
② $A E^{2} + B F^{2} = E F^{2}$ ；
③ $C D < E F < \sqrt{2} C D$ ．

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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5. 如图，正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别在边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 上，且 $A E = B F = C G = D H$ ，依次连接 $E F$ ， $F G$ ， $G H$ ， $H E$ ，将 $△ B E F$ 和 $△ D G H$ 分别沿 $E F$ ， $G H$ 翻折，使点 $B$ ， $D$ 分别落在 $B^{'}$ 和 $D^{'}$ 处，连接 $B^{'} H$ 和 $B^{'} D^{'}$ ．若 $D H = 2 D G$ ， $△ B^{'} D^{'} H$ 的面积为 $1$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为（）

A、10 B、9 C、8 D、7

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6. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 都是等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A D = 90 °$ ， $B D$ ， $C E$ 交于点F，连接 $A F$ ，下列结论：① $B D = C E$ ；② $∠ A E F = ∠ A D F$ ；③ $B D ⊥ C E$ ；④ $A F$ 平分 $∠ C A D$ ；⑤ $∠ A F E = 45 °$ ，其中结论正确的序号是（）

A、①②③④ B、①②④⑤ C、①③④⑤ D、①②③⑤

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, B C = 6$ ， D，E分别为线段 $A B$ ， $A C$ 上一点，且 $A D = A E$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ 交于点G，延长 $A G$ 交 $B C$ 于点F．以下四个结论正确的是（）
① $B F = C F$ ；
②若 $B E ⊥ A C$ ，则 $C F = D F$ ；
③连结 $E F$ ，若 $B E ⊥ A C$ ，则 $∠ D F E = 2 ∠ A B E$ ；
④若 $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，则 $F G = \frac{3}{2}$

A、①②③ B、③④ C、①②④ D、①②③④

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8. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B A = B C = 10$ ， $A C = 12$ ， $D E ∥ B C$ ， $P$ ， $Q$ 分别是 $B D$ 和 $B C$ 上的任意一点；连接 $P A$ ， $P C$ ， $P Q$ ， $A Q$ ，给出下列结论：① $△ B D E$ 的面积是12；② $A E + D E = B C$ ；③ $P C + P Q$ 的最小值是 $\frac{24}{5}$ ；④若 $P A$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $△ A P D$ 的面积为9．其中正确的是（）

A、①② B、①②④ C、①③ D、②③④

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9. 如图，等腰 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $∠ A B C$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点， $M$ 为 $E F$ 的中点， $A M$ 的延长线交 $B C$ 于点 $N$ ，连接 $D M$ ，下列结论：① $∠ A E B = 67.5 °$ ；② $A E = A F$ ；③ $△ A D N ≌ △ B D F$ ；④ $B F = 2 A M$ ；⑤ $D M$ 平分 $∠ B M N$ ，其中正确结论有（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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二、填空题

10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A C$ ， $B C$ 上，且 $∠ C D E = ∠ B$ ，将 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，点 $C$ 恰好落在 $A B$ 边上的点 $F$ 处， $C F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ．下列结论：其中正确的结论有．（填序号）
$①$ $A B = 2 C F$ ；
$②$ 若 $∠ A B C = 50 °$ ，则 $∠ A F D = 60 °$ ；
$③$ 若 $C D = 1.5$ ， $C E = 2$ ，则 $D G \cdot G E = 1.2$ ；
$④$ 若 $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，则 $C G = 1.25$ ．

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11. 如图，点P是在正 $△ A B C$ 内一点． $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，将线段 $A P$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A P^{'}$ ，连接 $P^{'} P$ 、 $P^{'} C$ ，四边形 $A P C P^{'}$ 的面积为．

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12. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = A C = 6 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 上的点，将 $△ A C D$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A E D$ ，点 $E$ 是点 $C$ 的对称点．若 $∠ C D E = 120 °$ ，则 $C D$ 的长是．

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13. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C, A D ⊥ B C$ 于点 $D, D E$ 平分 $∠ A D C$ ，交 $A C$ 于点E， $E F ⊥ A B$ 于点F，且交 $A D$ 于点G，若 $A G = 1, B C = 6$ ，则 $D G =$ ， $F G =$ ．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $C E ⊥ A D$ 交 $A B$ 于 $E$ ，点 $G$ 是 $A D$ 上的一点，且 $∠ A C G = 45 °$ ，连 $B G$ 交 $C E$ 于 $P$ ，连 $D P$ ，下列结论： $①$ $A C = A E$ ， $②$ $C D = B E$ ， $③$ $B G + 2 D P = A D$ ， $④$ $P G = P E$ ，其中正确的有．

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15. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 16$ ， $D$ 是 $A C$ 上的一点， $C D = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发沿射线 $B C$ 方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ ．过点 $D$ 作 $D E ⊥ A P$ 于点 $E$ ．在点P的运动过程中，当t为时，能使 $D E = C D$ ？

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 60 °$ ， $B C = 6$ ，分别以 $A B$ ， $A C$ 为边在 $△ A B C$ 外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，连结 $B E$ ， $C D$ ．
（1） $∠ B E C = 24 °$ ，则 $∠ C B E =$ ；
（2）若 $A C = 8$ ，则 $C D$ 的长为．

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17. 一副三角板如图叠放， $∠ C = ∠ D F E = 90 °$ ， $∠ A = 30 °, ∠ D = 45 °, A C = D E$ ， $A C, D E$ 互相平分于点O，点F在边 $A B$ 上，边 $A C, E F$ 交于点H，边 $A B, D E$ 交于点G．
（1） $∠ A F E =$ ；
（2）若 $G F = a$ ，则 $A H =$ （用含a的代数式表示）．

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三、综合题

18. 如图，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $B C ⊥ A C$ ， P是线段 $B C$ 上的一个动点（与点B，C不重合），连接 $A P$ ，延长 $B C$ 至点Q，使得 $C Q = C P$ ，过点Q作 $Q H ⊥ A P$ 于点H，交 $A C$ 于点N，交 $A B$ 于点M，连结 $A Q$ ．

(1)、若 $∠ P A C = α$ ，求 $∠ A M Q$ 的度数．（用含α的式子表示）；

(2)、求证： $Q M = A P$ ；

(3)、在P点运动过程中线段 $M B$ 与 $P Q$ 的比值是否发生变化？若不变请计算它们的比值．

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19. 如图，在Rt $△$ ABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP，设AP=m．
（1）若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE，若∠A=60°， $△$ PCE与 $△$ PDE的画积之比为1：2，求m的值．

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20. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点 $P$ 在边 $A C$ 上，作 $P Q ⊥ B C$ 于点 $Q$ ，连接 $B P$ 、 $A Q$ ．

(1)、如图1，若 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ，求证： $B P$ 垂直平分 $A Q$ ．

(2)、如图2，点 $O$ 是 $B P$ 的中点，直线 $A O$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $O Q$ ，
①求证： $△ A Q O$ 是等腰直角三角形．
②若 $B D = 4$ ， $D Q = 6$ ，求 $C Q$ 的长度．

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21. （1）已知点D为等边 $△ A B C$ 边 $A B$ 所在直线上一点，连 $D C$ ，以 $D C$ 为边作等边 $△ D E C$ ，连 $A E$ ．
①如图1，点D在线段 $A B$ 上，求证： $A E ∥ B C$ ；
②当点D在 $A B$ 的延长线上，①中的结论是否仍然成立，请画出图形判断并说明理由；
（2）如图2，点D为等腰直角 $△ A B C$ 直角边 $A B$ 所在直线上任意一点，连 $C D$ ，以 $C D$ 为斜边作等腰直角 $△ C D E$ ，连 $B E$ ，当 $C E$ 的长最小时，直接写出 $\frac{C E}{B E}$ 的值，不需要说明理由．

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22. 已知在直角三角形 $A B O$ 中， $O A = 8 ， O B = 6$ ， D为斜边 $A B$ 中点，C为边 $O A$ 上一点．

(1)、 $O D =$ 　　　．

(2)、如图1，连结 $B C$ 交 $O D$ 于点E．当 $∠ C B O = ∠ B A O$ 时：
①求证： $O D ⊥ B C$ ；
②求 $△ B E O$ 的面积．

(3)、如图2，连结 $C D$ ，将 $△ A C D$ 沿着 $C D$ 折叠得到 $△ A^{'} C D$ ．当 $A^{'} D$ 与 $△ A B O$ 的一边平行时，求 $A C$ 的长度．

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23. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ， D为边 $A B$ 上一点．

(1)、如图1，若 $A C = \sqrt{72}$ ， $A D = 3$ ，求 $△ C D B$ 的面积；

(2)、如图2，作 $D E ⊥ C D$ ，且 $D E = C D$ ，连结 $C E$ 交边 $A B$ 于点F，连结 $B E$ ．
①若 $B C = B D$ ，求证： $∠ A D C = ∠ B E D$ ；
②若 $B D > B C$ ，写出线段 $B C$ ， $B E$ ， $C E$ 长度之间的等量关系，并说明理由．

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24. $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 120 °$ ， $D$ 是边 $A C$ 一点，连接 $B D$ ， $E$ 为射线 $B A$ 上一点．

(1)、如图1，当点 $E$ 在 $A B$ 边上时，连接 $C E$ ．交 $B D$ 于点 $P$ ，若 $C E = B D$ ．
① $A E$ 与 $A D$ 相等吗？请判断并说明理由；
②若 $∠ B P E = 30 °$ ， $A B = 2$ ，求 $A D$ 的长．

(2)、如图2，当点 $E$ 在 $B A$ 延长线上时，连接 $C E$ ，若 $C E = B D$ ．
①探究线段 $A D$ ， $A B$ ， $A E$ 的数量关系并说明理由；
②连接 $D E$ ，求 $∠ A D E - ∠ A D B$ 的值．

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25. 如图，已知等边 $Δ A B C$ ，点 $D$ 为 $Δ A B C$ 内的一点，连接 $D A$ 、 $D B$ 、 $D C$ ， $∠ A D B = 120^{\circ}$ ，以 $C D$ 为边向 $C D$ 上方作等边 $Δ C D E$ ，连接 $A E$ （ $0^{\circ} < ∠ A C E < 60^{\circ}$ ）.
（1）求证： $Δ B D C$ ≌ $Δ A E C$
（2）若 $D C = 2 n$ ， $A D = A E$ ，则 $Δ A D E$ 的面积为 .
（3）若 $D A = n^{2} + 1$ ， $D B = n^{2} - 1$ ， $D C = 2 n$ （ $n$ 为大于1的整数）.求证： $D A^{2} + D C^{2} = A C^{2}$ .

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26. 如图1，直线 $A M ⊥ A N$ ， $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，过点B作 $B C ⊥ B A$ 交 $A N$ 于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以 $2cm/s$ 的速度沿射线 $A N$ 方向运动，动点D以 $1cm/s$ 的速度沿射线 $A M$ 方向运动；已知 $A C = 6 cm$ ，设动点D，E的运动时间为t．

(1)、求 $∠ A C B$ 的度数；

(2)、当点D在射线 $A M$ 上运动时满足 $A D : C E = 2 : 3$ ，求点D，E的运动时间t的值；

(3)、当动点D在射线 $A M$ 上运动，点E在射线 $A N$ 上运动过程中，是否存在某个时间t，使得 $△ A D B$ 与 $△ B E C$ 全等？若存在，请求出此时 $B D$ 的长；若不存在，请说明理由．

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27. 如图1， $P$ 是等边 $△ A B C$ 内一点，连结 $A P, B P$ ．将线段 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $B P^{'}$ ，连结 $C P^{'}$ ．

(1)、求证： $△ A P B ≌ △ C P^{'} B$ ．

(2)、如图2，连结 $C P, P P^{'}$ ．
①当 $∠ A P B = 130 °$ ，且 $△ C P^{'} P$ 为等腰三角形时，求出 $∠ C P B$ 的度数．
②当 $P B = 2, A B = 6$ ，且 $P B ∥ C P^{'}$ 时，请直接写出点 $A$ 到点 $P^{'}$ 的距离．

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28. 在 $△ D E F$ 中， $D E = D F$ ，点B在 $E F$ 边上，且 $∠ E B D = 60 °$ ， C是射线 $B D$ 上的一个动点（不与点B重合，且 $B C \neq B E$ ），在射线 $B E$ 上截取 $B A = B C$ ，连接 $A C$ ．

(1)、当点C在线段 $B D$ 上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系为；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明 $A E = B F + C D$ ；

(2)、当点C在线段 $B D$ 的延长线上时，用等式表示线段 $A E$ ， $B F$ ， $C D$ 之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．

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29. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是直线 $B C$ 上一点（不与B，C重合），以 $A D$ 为一边在 $A D$ 的右侧作 $△ A D E$ ，使 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，连接 $C E$ ．

(1)、如图1，当点D在线段 $B C$ 上时，如果 $∠ B A C = 90 °$ ，则 $∠ B C E =$ 　　°．

(2)、设 $∠ B A C = α ， ∠ B C E = β$ ．
①如图2，当点D在线段 $B C$ 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
②当点D在直线 $B C$ 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出结论．

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30. 如图，四边形 $A C B D$ 中， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $A D = B D$ ， $O$ 是 $A B$ 的中点．

(1)、如图①，连接 $O C$ ， $O D$ ，若 $∠ B A C = 30 °$ ，求 $∠ C O D$ 的度数；

(2)、如图②，连接 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，若 $O E = 5$ ， $D E + B E = 20$ ，求 $D E$ 的长；

(3)、如图③，作 $D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，试探究线段 $A F$ ， $D F$ ， $B C$ 之间的数量关系，并说明理由．

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31. 根据以下素材，探索解决问题．

如何作出“倍角三角形”？
素材	如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”
问题解决
项目操作	如图 $1$ ， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ，请将 $△ A B C$ 分成两个小三角形，使得其中一个小三角形是“倍角三角形”，并标注该“倍角三角形”三个内角的度数．
项目探索	若 $△ A B C$ 是倍角三角形， $∠ A > ∠ B > ∠ C$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 4 \sqrt{2}$ ，求 $△ A B C$ 面积．
项目拓展	如图 $2$ ， $△ A B C$ 的外角平分线 $A D$ 与 $C B$ 的延长线相交于点 $D$ ，点 $E$ 在 $C A$ 延长线上，若 $A E = A B$ ， $A B + A C = B D$ ，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

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