《三角形的综合》精选压轴题（二）—2025年浙江省八（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，点P在边AB上.BC=6， AC=8，（）

A、若∠ACP=45°，则CP=5 B、若∠ACP=∠B，则CP=5 C、若∠ACP=45°，则CP= $\frac{24}{5}$ D、若∠ACP=∠B，则CP= $\frac{24}{5}$

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2. 如图，在锐角三角形 $△ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $A C$ 边上的中线 $B D = \sqrt{3}$ ．过点A作 $A E ⊥ B C$ 于点E，记 $B C$ 的长为a， $B E$ 的长为b．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A、 $a + b$ B、 $a - b$ C、 $a^{2} + b^{2}$ D、 $a b$

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3. 如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（　　）

A、140° B、100° C、50° D、40°

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4. 如图，四边形 $A B D C$ 中， $A C = D C = 3$ ， $∠ B A C$ 的角平分线 $A D ⊥ B D$ 与点D，E为 $A C$ 的中点，则 $△ A B D$ 与 $△ E B C$ 面积之差的最大值为（）

A、9 B、4.5 C、3 D、1.5

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5. 如图， $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 均为等边三角形，且点B，C，D在同一直线上， $A D$ 交 $C E$ 于点G， $B E$ 交 $A C$ 于点H，连结 $C F ， G H$ ．则下列结论中正确的有（）
（1） $A D = B E$ ；（2） $∠ A F B = 60 °$ ；（3） $B F = A F + F C$ ；（4） $C F$ 平分 $∠ B F D$ ；（5） $△ C G H$ 是等边三角形．

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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6. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B A = B C = 10$ ， $A C = 12$ ， $D E ∥ B C$ ， P，Q分别是 $B D$ 和 $B C$ 上的任意一点，连接 $P A$ ， $P C$ ， $P Q$ ， $A Q$ ，给出下列结论：
① $P C + P Q \geq A Q$ ；
② $A E + D E = B C$ ；
③ $P C + P Q$ 的最小值是 $\frac{24}{5}$ ；
④若 $P A$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $△ A P D$ 的面积为9．
其中正确的是（　　）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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7. 如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC与点G ， BD平分∠ABC交AC于点D ， AG、BD相交于点F ， BE⊥AG交AG的延长线于点E ，连接CE ，下列结论中正确的是（　　）
①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD ．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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8. 如图，在 $△ A D E$ 和 $△ A B C$ 中， $∠ E = ∠ C$ ， $D E = B C$ ， $A E = A C$ ，过 $A$ 作 $A F ⊥ D E$ ，垂足为 $F$ ， $D E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，连接 $A G$ ．四边形 $D G B A$ 的面积为64， $A F = 8$ ．则 $F G$ 的长是（）

A、8 B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、6

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9. 如图，点 $P$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 上一点， $P E ⊥ B C$ 于点 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出下列四个结论：① $A P = E F$ ；② $P D = \sqrt{2} E C$ ；③ $∠ P F E = ∠ B A P$ ；④ $P B^{2} + P D^{2} = 2 P A^{2}$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点D、E， $C E$ 、 $B D$ 相交于点F，连接 $D E$ ．下列结论：① $A B = B C$ ；② $∠ B F E = 60 °$ ；③ $C E ⊥ A B$ ；④点F到 $△ A B C$ 三边的距离相等；⑤ $B E + C D = B C$ ．其中错误的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

11. 如图，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $B C = 12$ ， $D$ 是 $A C$ 上的一点， $C D = 3$ ，点 $P$ 从 $B$ 点出发沿射线 $B C$ 方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ ．过点 $D$ 作 $D E ⊥ A P$ 于点 $E$ ．在点 $P$ 的运动过程中，当 $t$ 为时，能使 $D E = C D$ ？

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线， $D G ⊥ C E$ 于点G，且 $E G = G C$ ．若 $∠ B E C = 126 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是．

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13. 在 $△ A B C$ 中， $C A = C B = 2, ∠ A C B = 12 0^{°}$ ，将一块足够大的直角三角尺 $P M N (∠ M = 9 0^{°}, ∠ M P N = 3 0^{°})$ 按如图所示放置，顶点 $P$ 在线段AB上滑动，PM始终经过点 $C$ ，斜边PN交AC于点 $D$ .在点 $P$ 滑动过程中， $△ P C D$ 为等腰三角形时，则点 $P$ 与点 $B$ 的距离BP为.

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14. 如图所示，在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 为射线 $C B$ 上的动点， $A E = A D$ ，且 $A E ⊥ A D$ ， $B E$ 与 $A C$ 所在的直线交于点 $P$ ，若 $\frac{A C}{P C} = \frac{9}{2}$ ，则 $\frac{B D}{C D}$ $=$ ．

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 ° ， ∠ A = 30 °$ ，点D，E，F分别是线段 $A C ， A B ， D C$ 的中点，下列结论：① $△ E F B$ 为等边三角形．② $S_{四边形 D F B E} = \frac{1}{2} S_{△ A B C}$ ． ③ $A E = 2 D F$ ． ④ $A C = 8 D G$ ．其中正确的是．

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16. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C ， ∠ B = 40 °$ ，点D是 $B C$ 上一动点，将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 折叠得到 $△ A D E$ ，当 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 重叠部分是直角三角形时， $∠ B A D$ 的度数为．

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17. 如图，在 $▵ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 在 $▵ A B C$ 内， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，连接 $C D$ ，把 $△ A D C$ 沿 $C D$ 折叠， $A C$ 落在 $C E$ 处交 $A B$ 于 $F$ ，恰有 $C E ⊥ A B .$ 若 $B C = 10$ ， $A D = 7$ ，则 $E F =$ ．

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18. 如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B D ⊥ A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 和 $F$ 分别在线段 $A D$ 和线段 $B D$ 上，连结 $B E$ ，则 $B E$ 平分 $∠ A B D$ ，且满足 $B F = C E$ ，若 $B C = 5, E F = 3$ ，则 $△ E F B$ 的面积为．

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 均为等边三角形，点O是 $A C$ 的中点，点D在射线 $B O$ 上，连结 $O E, E C$ ，则 $∠ A C E =$ ，若 $A B = 1$ ，则 $O E$ 的最小值= ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 6 0^{°}, B C = 6$ ，分别以AB ， AC为边在 $△ A B C$ 外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ，连结BE ， CD.

(1)、 $∠ B E C = 2 4^{°}$ ，则 $∠ C B E =$ ；

(2)、若 $A C = 8$ ，则CD的长为.

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三、综合题

21. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 4 5^{°}$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，点E，F分别在AC，BC上，且 $E F ⊥ B C, E F$ 与CD交于点 $N$ .

(1)、如图1，当点 $E$ 与点 $A$ 重合时，
①求证： $△ A D N ≅ △ C D B$ ；②直接写出 $\frac{C F}{E N}$ 的值.

(2)、如图2，当点 $E$ 在AC边上时
①依题意补全图2；② $\frac{C F}{E N}$ 的值是否发生变化，请说明理由.

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22. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A C B = 70 °$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点．点 $H$ 是 $A B$ 上的点，将 $△ B D H$ 沿 $D H$ 所在的直线对折，记点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ．

(1)、当 $B^{'} D ∥ B H$ 时，求 $∠ B D H$ 的度数．

(2)、当点 $B^{'}$ 落在 $△ A B C$ 的一边上时，求 $∠ B D H$ 的度数．

(3)、当点 $B^{'}$ 落在直线 $B C$ 上方，且对折后重叠部分为等腰三角形时，求 $∠ B D H$ 的度数．

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23. 如图1，已知在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，已知 $B C = 15$ ， $A B = 20$ ． $D$ 是边 $A C$ 上一动点，连接 $B D$ ，以 $B D$ 为对称轴将 $△ C B D$ 翻折至 $△ C^{'} B D$ ．

(1)、若 $C^{'} D ∥ B C$ 时．
①求证： $C B = C D$ ；
②求折痕 $B D$ 的长．

(2)、如图2，若 $C^{'} D ⊥ B C$ 时，以 $B$ 为原点，直线 $B C$ 为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，求此时 $C^{'}$ 的坐标．

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24. 如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、当点D在射线AM上运动时满足AD：CE=2：3，求点D，E的运动时间的值：

(3)、当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间，使得△ADB与△BEC全等?若存在，请求出此时BD的长：若不存在，请说明理由.

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25. 如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边长为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕D旋转，AD=4，DM=3.
（1）在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
（2）当摆动臂AD顺时针旋转 $90^{\circ}$ ，点D的位置由 $Δ A B C$ 外的点D₁转到其内的点D₂处，连接D₁D₂如图2，此时∠AD₂C= $135^{\circ}$ ， CD₂= $\sqrt{17}$ ，求BD₂的长.

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26. 如图1，过△ABC的顶点A分别作对边BC上的中线AD和高线AE ．

(1)、在图1中，若AB=15，AC=13，BC=14，BE=a ，分别求出a ， $B D^{2} + A D^{2}$ 的值；

(2)、①如图1，猜想 $A B^{2} + A C^{2}$ 和 $B D^{2} + A D^{2}$ 之间的关系，并证明你的结论；
②如图2，∠MON=45°，点P是边OM上一动点，点Q是边ON上一点，且OQ=8，则 $O P^{2} + P Q^{2}$ 的最小值为 ▲ ．

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27. 如图， $A C ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $A B$ ， $C D$ ， $A B = 10$ ， $B E = 8$ ，点 $P$ 在线段 $A B$ 上运动时（不与A， $B$ 重合），点 $Q$ 在线段 $A C$ 上，满足 $C Q = \frac{6}{5} A P$ ，连接 $P Q$ ．当 $P$ 为 $A B$ 中点时， $Q$ 恰好与点 $E$ 重合．

(1)、求 $A C$ 的长．

(2)、若 $∠ C = ∠ B$ ， $P$ 运动到 $A B$ 中点时，求证：直线 $P Q ⊥ C D$ ．

(3)、连接 $B Q$ ，当 $△ A B Q$ 是等腰三角形时，请写出所有符合条件的 $A P$ 的长．

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28. 如图，已知等边 $△ A B C$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 内的一点，连接 $D A, D B, D C, ∠ A D B = 12 0^{°}$ .以CD为边向CD上方作等边 $△ C D E$ ，连接AE（ $0^{°} < ∠ A C E < 6 0^{°}$ ）.

(1)、求证： $△ B D C ≅ △ A E C$ .

(2)、若 $D C = 2 n, A D = A E$ ，则 $△ A D E$ 的面积为.

(3)、若 $D A = n^{2} + 1, D B = n^{2} - 1, D C = 2 n$ （ $n$ 为大于1的整数）.求证： $D A^{2} + D C^{2} = A C^{2}$ .

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29. 在∆ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC， D为边AB上一点.

(1)、如图1，若AC= $\sqrt{72}$ ， AD=3，求∆CDB的面积；

(2)、如图2，作DE⊥CD，且DE=CD，连结 CE交边AB 于点F，连结BE.
①若BC=BD，求证： ∠ADC=∠BED；
②若BD>BC，写出线段 BC， BE， CE 长度之间的等量关系，并说明理由

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30. 某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1） $△ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $P$ 是射线 $M A$ 上的点，设 $\frac{A P}{P M} = k$ ．若 $∠ B P C = 90 °$ ，则称 $k$ 为勾股比．

(1)、如图（1），过 $B$ 、 $C$ 分别作中线 $A M$ 的垂线，垂足为 $E$ 、 $D$ ．求证： $C D = B E$ ．

(2)、①如图（2），当 $k = 1$ ，且 $A B = A C$ 时， $A B^{2} + A C^{2} =$ $B C^{2}$ （填一个恰当的数）．
②如图（1），当 $k = 1$ ， $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $A B \neq A C$ 时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．

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31. 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ， AB=4，点D是射线AB上的一个动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CD ，连结BD.

(1)、如图1，若动点D在线段AB上运动时，求证：△ACD≌△CBD.

(2)、如图2，若动点D在射线AB上运动时，连结AD ， DD.
①当△ADD为等腰三角形时，求线段AD的长.
②当线段AD= 时， △CDB与△DDB的面积存在3倍的关系.

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32. 在等腰△ABC中，AB=AC ，点D是AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE ， AF平分∠CAE交DE于点F ，连结FC ．

(1)、如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；

(2)、如图2，当∠ABC＝60°时，在BE上取点M ，使BM=EF ，连结AM ．
求证：△AFM是等边三角形；

(3)、如图3，当∠ABC＝45°时，且AE $∥$ BC时，求证：BD=2EF ．

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33. 在△ABC中，AB＝AC ， ∠BAC＝140°．

(1)、如图1，D为BC边上一定点（不与点B ， C重合），将△ABD沿AD翻折至△AB^'D ，连结B'C ，求∠BAD与∠DCB^'的数量关系．

(2)、如图2，当点D在BC边上运动时，仍将△ABD沿AD翻折至△AB^'D ，连结B'C ．
①当AB^'⊥BC时，求∠AB'C的度数．
②当△DB^'C为等腰三角形时，求∠BAD的度数．

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34. 如图 $1$ ，在 $▵ A B C$ 中， $∠ A C B$ 为锐角，点 $D$ 为射线 $B C$ 上一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ 为一边且在 $A D$ 的右侧作正方形 $A D E F$ ．

(1)、如果 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ．
①如图 $2$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时 $($ 与点 $B$ 不重合 $)$ ，线段 $C F$ 、 $B D$ 所在直线的位置关系为，线段 $C F$ 、 $B D$ 的数量关系为；
②如图 $3$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上时， $①$ 中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(2)、如果 $A B \neq A C$ ， $∠ B A C$ 是锐角，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，当 $∠ A C B =$ $^{\circ}$ 时， $C F ⊥ B C ($ 点 $C$ 、 $F$ 不重合 $) . ($ 请直接写出答案，如若需要，自行绘图 $)$

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35. 等边 $△ A B C$ 中，点 $D ， E$ 分别在边 $A B, B C$ 上，连结 $D E$ ，以点 $D$ 为中心将 $D E$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $D F$ ，连结 $E F$ ，设 $A D = k B E$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，如图1，点 $F$ 在 $A C$ 上．求证： $C F = B E$ ；

(2)、当 $k = 2$ 时，如图2，连接 $C F$ ，请求出 $∠ E C F$ 的度数；

(3)、当 $k = \frac{1}{2}$ 时，如图3，连接 $A F, B F$ ，当 $A F + B F$ 取得最小值时， $\frac{A D}{A B} =$ _____．

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36. 如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC ， CD＝CE ， AC＞CD ， ∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连接BE ．

(1)、求证：AD＝BE ．

(2)、如图2，若α＝90°，CM⊥AE于M ．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．

(3)、如图3，若α＝120°，CM⊥AE于M ， BN⊥AE于N ， $B N = \sqrt{3} a$ ， CM＝b ，直接写出AE的值（用a ， b的代数式表示）．

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37. 如图，在 $△ A B C$ 中，E 是 $A B$ 中点，F 是 $A C$ 上一动点，连接 $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿直线 $E F$ 折叠得 $△ D E F$ ．

(1)、如图①，若点D 恰好落在线段 $B C$ 上，求证： $E F ∥ B C$ ；

(2)、如图②，若 $△ A B C$ 为等边三角形，且边长为 $4 + 4 \sqrt{3}$ ，当点D 落在线段 $C E$ 上时，求 $A F$ 的长度：

(3)、如图③，若 $△ A B C$ 为直角三角形， $∠ B A C = 90 °$ ， $A C = 8$ ．连接 $A D 、 B D 、 C D$ ，若 $△ A C D$ 与 $△ B C D$ 面积相等，且 $C D = 4$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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四、实践探究题

38.
【问题情境】在数学课上，老师出示了这样一个问题：已知，如图1， $△ A B C$ 中，若 $A C = 5$ ， $B C = 3$ ，点D为 $A B$ 边中点，求 $A B$ 边上的中线 $C D$ 的取值范围．
经过小组合作交流，找到了解决方法：“倍长中线法”．
（1）请按照上面的思维框图，完成证明．
【探究应用】
（2）已知：如图2， $△ A B C (C A \neq C B)$ 中， $C D$ 是 $A B$ 边上的中线，E在 $B C$ 边上，连接 $A E$ 交 $C D$ 于F，且 $A F = B C$ ．求证： $∠ A F D = ∠ B C D$ ；
【拓展延伸】
（3）如图3，若 $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线，E是 $A B$ 上一点，连接 $C E$ 交 $A D$ 于点F，且 $C F = A B = 3$ ，求 $A E$ 的长．

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39. 综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = 30 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，连接 $B D$ 、 $C E$ ，且 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 三点共线，则图中与线段 $B D$ 相等的线段是， $∠ B E C =$ $°$ ．
【初步运用】
（2）如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = α$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ 交于点 $O$ ．找出图中与 $B D$ 相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是四边形内一点，且 $∠ A E B = ∠ D E C = 90 °$ ， $A E = B E = 6$ ， $D E = E C = 4$ ，请计算 $A D^{2} + B C^{2}$ 的值．

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