《勾股定理与直角三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习

试卷更新日期：2025-10-19 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = 8$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，E，F分别在 $A C$ ， $A B$ 边上． $A F = 4$ ， $A E = 6$ ，连结 $D F$ ， $D E$ ．若 $D E = D F$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（　　）

A、 $\frac{5 \sqrt{29}}{2}$ B、24 C、30 D、 $\frac{5 \sqrt{39}}{2}$

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2. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3 ， B C = 4$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $C D ⊥ A B$ 于D， $B E$ 与 $C D$ 相交于F，则 $C F$ 的长是（　　）

A、1 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, D, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点， $B E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $A F, D F, D E, E F$ ．若 $B C = 6, △ D E F$ 的周长是11，则 $A F$ 的长为（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{55}$ C、 $2 \sqrt{15}$ D、8

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4. 如图，△ABC中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）

A、以BC为边的正方形面积 B、以AC为边的正方形面积 C、以AB为边的正方形面积 D、△ABC的面积

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5. 如图， Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，分别以 A B， AC， DC为边在AB的同侧作正三角形 ABD 、 ACE 、 BC F，图中四块阴影部分的面积分別为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{3} = ()$

A、 $S_{4} - 2 S_{2}$ B、 $S_{4} - S_{2}$ C、 $S_{4}$ D、 $S_{4} + S_{2}$

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6. 欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，四边形 $A B E D$ 、四边形 $A C G F$ 、四边形 $B C M H$ 和四边形 $A M P Q$ 都是正方形．若 $△ A B C$ 的面积为3，正方形 $A B E D$ 的面积为13，则正方形 $A M P Q$ 的面积为（）

A、16 B、19 C、25 D、37

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7. 在图1所示的 $3 \times 3$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形 $A B C D$ ，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形 $A B C D$ 的边长为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{6}$

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8. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，分别以 $A B, A C, B C$ 为边在AB的同侧作正三角形 $A B D 、 A C E 、 B C F$ ，图中四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，则 $S_{1} + S_{3} =$ （）

A、 $S_{4} - 2 S_{2}$ B、 $S_{4} - S_{2}$ C、 $S_{4}$ D、 $S_{4} + S_{2}$

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9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB $=$ 90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN ，若把图中阴影部分面积分别记为S₁、S₂、S₃、S₄并把它们的面积之和记为L ，则L与Rt△ABC的面积S存在何种数量关系？（）

A、L=2S B、L=3S C、L=4S D、L=5S

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}, B C > A C$ ，以 $△ A B C$ 的各边为边作三个正方形，点 $D$ 落在GF上，若正方形AEDB的面积是14， $D G = 1$ ，则阴影部分的面积为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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11. 如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD ，连结AC ，交BE于点 $P$ ，若正方形ABCD的面积为 $30, A E + B E = 7$ .则 $S_{△ C F P} - S_{△ A E P}$ 的值是（）

A、5.5 B、6.5 C、7 D、7.5

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12. 如图，清代数学家李锐在其著作《勾股算术细草》中利用三个正方形出入相补的方法证明了勾股定理．如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以 $A B, A C$ 和 $B C$ 为边，按如图所示的方式作正方形 $A B K H$ 、 $A C I G$ 和 $B C F D$ ， $K H$ 与 $C I$ 交于点 $J$ ， $A B$ 与 $D F$ 交于点 $E$ ．若四边形 $B C F E$ 和 $△ H I J$ 的面积和为5，四边形 $A C J H$ 和 $△ B D E$ 的面积和为12，则 $A C + B C$ 的值为（）

A、 $\sqrt{42}$ B、 $\frac{13}{2}$ C、 $\sqrt{48}$ D、 $7$

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13. 如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放置在大正方形内，若四边形 $A B C D$ 面积为6，四边形 $C D E G$ 的面积为2，四边形 $G F K H$ 的面积为2.5，四边形 $C G H P$ 的面积为4，则知道图中阴影部分的面积是（）

A、1.5 B、2 C、2.5 D、3

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二、填空题

14. 如图，在长方形纸片 $A B C D$ 中， $A D = 8$ ， $A B = 10$ ，点M 为 $B C$ 上一点，将 $△ C D M$ 沿 $D M$ 翻至 $△ E D M$ ， $E M$ 交 $A B$ 于点G， $E D$ 交 $A B$ 于点F，且 $B G = E G$ ，则 $C M$ 的长度是

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15. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．它由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1、则直角三角形的较长直角边长为．

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16. 如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为13和1，且直角三角形的两直角边分别为a，b，则 ${(a + b)}^{2}$ 的值为．

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17. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形 $G D J H$ 的边长为a，青方对应正方形 $A B C D$ 的边长为b，已知 $b - a = 3$ ， $a^{2} + b^{2} = 29$ ，则图2中的阴影部分面积为．

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18. 将一块三角形纸板 $A B C$ 剪成如图1所示的①②③三块，再拼成不重叠、无缝隙的正方形 $G H P Q$ （如图2）．若 $△ A B C$ 的面积为9， $D E = 1$ ，则 $E F$ 的长为．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，点D， E 分別在 A C， B C 上，且 $∠ C D E = ∠ B$ ，将 $△ C D E$ 沿DE 折叠，点C恰好落在AB边上的点F处， CF 与DE交于点G.下列结论：其中正确的结论有。(填序号)
①AB=2CF.
②若 $∠ A B C = 5 0^{°}$ ，则 $∠ A F D = 6 0^{°}$ ；
③若CD=1.5， CE=2，则DG·GE=1.2；
④若AC=4， BC=3，则CG=1.25.

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A D$ 上， $△ C D E$ 沿 $C E$ 折叠得到 $△ C F E$ ，且点B，F，E三点共线，连接 $D F$ ，若 $B E = \frac{25}{6}$ ， $D E = 3$ ，则 $A E =$ ， $D F =$ ．

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21. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 9$ ，将矩形折叠，使点 $C$ 与点 $A$ 重合，点 $D$ 落在点 $G$ 处，折痕为 $E F$ ，则 $A E =$ ， $E F =$ ．

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22. 沿海地区台风频发，为了安全的需要，人们常常会在窗户上加装铰链，如下图所示，安装方式有水平安装（如图1，2）和上悬安装（如图3，4）两种形式.悬挂臂DE安装在窗户上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B、C、D安装在一根钢筋上，其中AC//ED ， AC=20cm ， CD=10cm ， BD=40cm ，我们把DE所在的直线与直线AB所成的夹角称作窗户打开角.当水平安装的窗户打开角为90°时，AB＝cm ．当上悬安装的窗户打开角为30°时，AB＝cm ．

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