浙江省温州市第八高级中学2025-2026学年高一上学期10月素养测试数学试题

试卷更新日期：2025-10-14 类型：月考试卷

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一、单选题：本大题共8小题，共40分.

1. 下列关系中，正确的是（）

A、 $- 2 \in N_{+}$ B、 $π \notin Q$ C、 $0 \notin N$ D、 $\frac{3}{2} \in Z$

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2. 命题“ $\exists x > 0, x^{2} - 3 x - 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ C、 $\forall x > 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 3 x - 1 \leq 0$

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3. 若函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，则“ $f (2) < f (3)$ ”是“ $f (x)$ 是增函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 下列各组函数表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}, g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = x + 1, g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = 1, g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = x, g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$

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5. 不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{2} < x < 3\}$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为（）．

A、 $\{x | x < - 2 或 x > \frac{1}{3}\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{3}\}$ C、 $\{x |- \frac{1}{3} < x < 2\}$ D、 $\{x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 2\}$

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6. 函数 $y = \frac{x}{1 + x}$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值､最小值分别为（）

A、最大值为 $\frac{5}{4}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ B、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、最大值为1，最小值为 $\frac{1}{3}$ D、最大值为 $\frac{4}{5}$ ，最小值为 $\frac{1}{3}$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (2 a - 3) x + 2 ， x \leq 1 \\ \frac{a}{x} ， x > 1 \end{array}$ 是R上的减函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $0 < a < \frac{3}{2}$ B、 $1 \leq a < \frac{3}{2}$ C、 $0 < a \leq \frac{3}{2}$ D、 $1 < a < \frac{3}{2}$

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8. 定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})] > 0$ 成立，且 $f (4) = 2$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > \frac{1}{2}$ 的解集为（）

A、 $(4, + \infty)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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二、多选题：本大题共3小题，共18分.

9. 下列命题是真命题的为（）

A、若 $a > b > 0 > c > d$ ，则 $a b > c d$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a > b > 0$ 且 $c < 0$ ，则 $\frac{c}{a^{2}} > \frac{c}{b^{2}}$ D、若 $a > b$ 且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a b < 0$

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10. 已知 $4 a + b = a b (a > 0, b > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a b$ 的最小值为16 B、 $a + b$ 的最小值为9 C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最大值为2 D、 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}}$ 的最小值为 $\frac{1}{5}$

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11. 已知 $f (x) = 3 - 2 |x|$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，设 $F (x) = \{\begin{matrix} g (x), f (x) \geq g (x) \\ f (x), f (x) < g (x) \end{matrix}$ ，则关于 $F (x)$ 的说法正确的是（）

A、最大值为3，最小值为 $- 1$ B、最大值为 $7 - 2 \sqrt{7}$ ，无最小值 C、单调递增区间为 $(- \infty, 2 - \sqrt{7})$ 和 $(1, \sqrt{3})$ ，单调递减区间为 $(2 - \sqrt{7}, 1)$ 和 $(\sqrt{3}, + \infty)$ D、单调递增区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, \sqrt{3})$ ，单调递减区间为 $(0, 1)$ 和 $(\sqrt{3}, + \infty)$

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三、填空题：本大题共3小题，共15分.

12. 已知集合 $A = \{1 - a, a^{2} - 2 a - 1\}$ ，且 $2 \in A$ ，则 $a =$ .

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13. 已知函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别由下表给出，则方程 $g [f (x)] = 3$ 的解集为.
x 1 2 3
$f (x)$ 1 3 1
x 1 2 3
$g (x)$
3 2 1

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14. 已知函数 $f (x) = m + \sqrt{x + 2}$ ，若存在实数a， $b (a < b)$ ，使 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的值域为 $[a, b]$ ，则实数m的取值范围是．

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四、解答题：本大题共5小题，共77分.

15. 设集合 $A ={x |−1< x <3}$ ，集合 $B ={x |2− a < x <2+ a}$ ．

(1)、若 $a =2$ ，求 $A ∪ B$ 和 $A ∩ B;$

(2)、设命题 $p : x ∈ A$ ，命题 $q : x ∈ B$ ，若 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{(a + 1) x - 2}{x - 1}$ ， a为常数.

(1)、若 $a = 2$ ，解关于x的不等式 $f (x) < 1$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < x - a$ 对任意的 $x > 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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17. 2021年8月3日，旅居法国的中国大熊猫欢欢，在法国博瓦勒动物园顺利地产下了一对双胞胎，暂时取名为“棉花”和“小雪”.为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室 $A B C D$ 的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室 $A M P N$ ，使活动的空间更大.为不影响现有的生活环境，建造时要求点B在 $A M$ 上，点D在 $A N$ 上，且对角线 $M N$ 过点C，如图所示.已知 $A B = 6 m, A D = 4 m$ .设 $D N = x m$ （单位： $m$ ），矩形 $A M P N$ 的面积为 $y m^{2}$ .

(1)、写出y关于x的表达式，并求出x为多少米时，y有最小值；

(2)、要使矩形 $A M P N$ 的面积大于 $128 m^{2}$ ，则 $D N$ 的长应在什么范围内？

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18. 已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为1，且 $f (0) = f (2) = 3$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 a, a + 1]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $x \in [t, t + 2]$ ，试求 $y = f (x)$ 的最小值.

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19. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0, + \infty)$ ， $f (x y) - f (x) = f (y) + 1$ ，当 $x > 1$ 时， $f (x) < - 1$ .

(1)、求 $f (1)$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并给出证明；

(3)、解不等式 $f (x - 2) + f (x) > - 2$ .

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x	1	2	3
$f (x)$	1	3	1
x	1	2	3
$g (x)$	3	2	1