【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题-在线组卷题库

1. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是.(写出一个即可)

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2. 请写出一个开口向上，且经过点（0，－1）的二次函数的表达式：．（只需写出一个符合题意的函数表达式即可）

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3. 抛物线y= $x^{2}$ +bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为.

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4. 在二次函数y=-x²+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表．

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

y

-14

-7

-2

2

m

n

-7

-14

则m-n的值为．

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5. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是．

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6. 在解分式方程 $\frac{1 - x}{x - 2} = \frac{1}{2 - x} - 2$ 时，小李的解法如下：
第一步： $\frac{1 - x}{x - 2}$ $\cdot (x - 2) = -$ $\frac{1}{x - 2}$ $\cdot (x - 2) - 2 ，$
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步：检验：当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母?去分母的依据是什么?判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.

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7. 解分式方程： $\frac{2}{x + 1}$ ＝ $\frac{3}{x - 1}$ ．

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8. 解方程： $\frac{x}{x - 1} = \frac{3}{2 x - 2} - 2$

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9. 解方程： $\frac{3}{x + 1} = \frac{2}{x}$ ．

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10. 佳佳计算分式方程

\frac{1 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2

的过程如下：

解方程： $\frac{1 - x}{x - 3} = \frac{1}{3 - x} - 2$

去分母，得 $1 - x = - 1 - 2$ 第①步

移项，得 $- x = - 1 - 2 + 1$ 第②步

合并同类项，得 $- x = - 2$ 第③步

系数化1，得 $x = 2$ 第④步

经检验， $x = 2$ 是该分式方程的解.

(1)、佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是（填序号）；

(2)、请你写出正确的解答过程.

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11. 以下是小明解分式方程 $\frac{3 x}{x - 1} - 1 = \frac{3}{x - 1}$ 的解答过程：
解： $3 x - 1 = 3$ ①
$3 x = 4$ ②
∴ $x = \frac{4}{3}$ ③
经检验 $x = \frac{4}{3}$ 是方程的解
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程．

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12. 对于分式方程 $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x} ，$ 小明的解题过程如下：
解：方程的两边同乘（x-2），得x-3+1=-3，①
解得x=-1.②
检验：当x=-1时，x-2≠0，③
所以x=-1是原分式方程的解.
小明的解题过程有错误吗？若有错误，错在第几步？请你帮他写出正确的解题过程.

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13. 如果两个分式 $M$ 与 $N$ 的和为常数 $k$ ，且 $k$ 为正整数，则称 $M$ 与 $N$ 互为“和整分式”，常数 $k$ 称为“和整值”．如分式 $M = \frac{x}{x + 1}$ ， $N = \frac{1}{x + 1}$ ， $M + N = \frac{x + 1}{x + 1} = 1$ ，则 $M$ 与 $N$ 互为“和整分式”，“和整值” $k = 1$ ．

(1)、已知分式 $A = \frac{x - 7}{x - 2}$ ， $B = \frac{x + 3}{x - 2}$ 互为“和整分式”，则其“和整值” $k$ 的值为_________；

(2)、已知分式 $C = \frac{3 x - 4}{x - 2}$ ， $D = \frac{G}{x^{2} - 4}$ ， $C$ 与 $D$ 互为“和整分式”，且“和整值” $k = 3$ ，若 $x$ 为正整数，分式 $D$ 的值为正整数 $t$ ．
①求 $G$ 所代表的代数式；②求 $x$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，已知分式 $P = \frac{3 x - 5}{x - 3}$ ， $Q = \frac{m x - 3}{3 - x}$ ，且 $P + Q = t$ ，若该关于 $x$ 的方程无解，求实数 $m$ 的值．

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14. 对于正数 $x$ ，规定 $f (x) = \frac{1}{x + 1}$ ．请解答下列问题．

(1)、计算： $f (2) + f (\frac{1}{2})$ ；

(2)、计算： $f (1) + f (2) + \dots + f (2025) + f (\frac{1}{2}) + f (\frac{1}{3}) + \dots + f (\frac{1}{2025})$ ；

(3)、探究是否存在正数 $m$ 使得 ${[f (m + 1)]}^{2} + {[f (\frac{1}{m - 1})]}^{2} + \frac{1}{m} = {[f (\frac{1}{m + 1})]}^{2} + {[f (m - 1)]}^{2}$ 成立，若存在，请求出 $m$ 的值．

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15. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的解是 $x = \frac{1}{m - n}$ 成立，那么我们就把实数m，n组成的数对 $〈 m, n 〉$ 称为关于x的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”．
例如：当 $m = 3$ ， $n = 2$ 时，使得关于 $x$ 的分式方程 $\frac{3}{x} - 2 = 1$ 的解是 $x = \frac{1}{3 - 2} = \frac{1}{1} = 1$ 成立，所以数对 $〈 3, 2 〉$ 称为关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”．

(1)、在数对① $〈 1, 0 〉$ ；② $〈 - 2, 3 〉$ ；③ $⟨\frac{1}{2}, - \frac{1}{2}⟩$ 中，_________（只填号）是关于x的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的“梦想数对”．

(2)、若数对 $〈 a - 3, 2 + a 〉$ 是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”求a的值．

(3)、若数对 $〈 c + d, d 〉 (c \neq \pm 1$ 且 $c \neq 0)$ 是关于 $x$ 的分式方程 $\frac{m}{x} - n = 1$ 的一个“梦想数对”，且关于 $y$ 的方程 $d y - c + 1 = 0$ 有整数解，直接写出整数c的值．

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【广东卷】备战2026年中考数学真题变式阶梯训练第15~16题

一、原题15

二、变式1基础

三、变式2巩固

四、变式3提高

五、原题16

六、变式1（基础）

七、变式2（巩固）

八、变式3（提高）

x	-3	-2	-1	1	2	3	4	5
y	-14	-7	-2	2	m	n	-7	-14

x	…	-2	-1	0	1	2	3	…
y	…	5	0	-3	-4	-3	0	…