北师大版数学八（上）第二章实数单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-10-13 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 下列各式正确的是（）

A、 $\pm \sqrt{9} = \pm 3$ B、 $- \sqrt{- 16} = 4$ C、 $\sqrt{16 \frac{1}{9}} = 4 \frac{1}{3}$ D、 $\sqrt[3]{8} = \pm 2$

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2. 如图，数轴上表示1， $\sqrt{2}$ 的对应点分别为A，B， $A B = A C$ ，则点C所表示的数是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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3. 估计 $\sqrt{26} + 2$ 的值在（　　）

A、4和5之间 B、5和6之间 C、6和7之间 D、7和8之间

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4. 下列运算正确的是（）

A、 $\frac{\sqrt{8}}{2} = \sqrt{4}$ B、 $3 + \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{4} = \sqrt{7}$ D、 $\sqrt{3} \div \frac{1}{\sqrt{3}} = 3$

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5. 下列语句中：（1）16的平方根是4；（2） $\sqrt{16}$ 的平方根是 $\pm 4$ ；（3） $\sqrt{16} = \pm 4$ ；（4） $\sqrt{{(- 7)}^{2}} = - 7$ ；（5）125的立方根是 $\pm 5$ ；（6） $\sqrt{2}$ 是2的平方根，正确的个数是（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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6. 已知 $\sqrt{24 n}$ 是整数，正整数n的最小值为（）

A、0 B、1 C、6 D、36

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7. 已知实数a，b满足| $| a - 7 | + \sqrt{b - 11} = 0,$ 则以a，b的值为两边长的等腰三角形的周长是( )

A、18 B、25 C、29 D、25或29

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8. 下列命题正确的有（   ）
①4的平方根是2；                        ② $π$ 是无理数；                        ③ ${(- 3)}^{2}$ 的平方根是 $- 3$ ；
④ ${(- 4)}^{3}$ 的立方根是 $- 4$ ；                ⑤ $- 0.1$ 是0. 001的一个立方根.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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9. 在图1所示的 $3 \times 3$ 的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1．经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个完全一样的五边形和一个小正方形①．现将分割后的四个五边形重新拼接（即图2中的阴影部分），得到一个大正方形 $A B C D$ ，发现该正方形中间的空白部分②也是个正方形，记正方形①的面积为1，则大正方形 $A B C D$ 的边长为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{6}$

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10. 如图是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第n(n是整数，且n≥4)行从左向右数第(n-3)个数是(用含n的代数式表示)( )

A、 $\sqrt{n^{2} -1}$ B、 $\sqrt{n^{2} -2}$ C、 $\sqrt{n^{2} -3}$ D、 $\sqrt{n^{2} -4}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. 若 $\sqrt{11}$ 的值在两个整数 $a$ 与 $a + 1$ 之间，则 $a =$ .

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12. 已知实数 $x 、 y$ 满足 $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y + 2} = 0$ ，则 ${(x + y)}^{2024}$ 的值为．

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13. 分母有理化： $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}$ ＝．

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14. 求值： $\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2023^{2}} + \frac{1}{2024^{2}}} =$ ．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $B E$ 平分 $∠ D B C$ ， N，M分别为射线 $B C, B E$ 上的动点．若 $B D = 8$ ，则 $C M + M N$ 的最小值为．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 把下列各数的序号填在相应的横线上
① $- 4$ ， ② $π$ ， ③ $- \frac{1}{3}$ ， ④ $\frac{2}{7}$ ， ⑤ $\sqrt{4}$ ， ⑥ $- 0.2$ ， ⑦ $\sqrt{5}$ ， ⑧0，⑨ $- 1.1010010001 \dots$ （每两个1之间多一个0）．
整数：                 ；
负分数：             ；
无理数：                  ．

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17. 已知 $5 a + 4$ 的立方根是 $- 1 ， 3 a + b - 1$ 的算术平方根是 $3 ， c$ 是 $\sqrt{13}$ 的整数部分．

(1)、求 $a 、 b 、 c$ 的值；

(2)、求 $3 a + b + 2 c$ 的平方根．

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18. 已知一块长为 $7 dm$ ，宽为 $5 dm$ 的长方形木板，如图．

(1)、与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______ $dm$ ；

(2)、采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 $8 {dm}^{2}$ 和 $18 {dm}^{2}$ 的正方形木板？试说明理由．

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19. 有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3} ， \sqrt{4}$ ， $\sqrt{5} .$ 按照他的做法，你认为能够“画出”哪些数?在这些数中，哪些数是有理数，哪些数是无理数?你有什么发现?

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20. 木工李师傅现有一块面积为144 $m^{2}$ 的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案：
方案一：沿着边的方向裁出一块面积为 $120 m^{2}$ 的长方形装饰材料，
方案二：沿着边的方向裁出一块面积为 $120 m^{2}$ 的长方形装饰材料，且其长、宽之比为 $3 : 2$ ．
李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由．

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21. 我们已经知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4,$ 因此将 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ 的分子、分母同时乘 $“ \sqrt{13} + 3 ”,$ 分母就变成了4.请仿照这种方法化简：
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} .$

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22. 阅读下列解题过程∶
$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{1 \times (\sqrt{7} - \sqrt{6})}{(\sqrt{7} + \sqrt{6}) (\sqrt{7} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{{(\sqrt{7})}^{2} - {(\sqrt{6})}^{2}} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$
请回答下列问题∶

(1)、仿照上面的解题过程化简∶ $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ $=$ $=$ ．

(2)、请直接写出 $\frac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}}$ 的化简结果∶ ．

(3)、利用上面所提供的想法，求 $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + . . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ 的值．

(4)、利用上面的结论，不计算近似值，试比较 $(\sqrt{12} - \sqrt{11})$ 与 $(\sqrt{13} - \sqrt{12})$ 的大小，并说明理由．

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23. 阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时，∵ ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， ∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，
例如：当 $a > 0$ 时，求 $a + \frac{4}{a}$ 的最小值．
解∵ $a > 0$ ∴ $a + \frac{4}{a} \geq 2 \sqrt{a \cdot \frac{16}{a}}$ 又∵ $2 \sqrt{a \cdot \frac{4}{a}} = 4$ ， ∴ $a + \frac{4}{a} \geq 4$ ，即 $a = 2$ 时取等号．
∴ $a + \frac{4}{a}$ 的最小值为4．
请利用上述结论解决以下问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，当且仅当 $x =$ 时， $x + \frac{1}{x}$ 有最小值．

(2)、当 $m > 0$ 时，求 $\frac{m^{2} + 5 m + 12}{m}$ 的最小值．

(3)、请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花围，需要用的篱笆最少是多少米？

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北师大版数学八（上）第二章 实数 单元测试培优卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共75分）

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