浙江省舟山市南海实验高中2025-2026学年高二上学期第1次月考数学试题

试卷更新日期：2025-09-30 类型：月考试卷

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合要求.

1. 若复数z满足 $z (3 + 4 i) = 25$ ，则z在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为（）

A、3.5 B、4 C、4.5 D、5

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3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ n$ ， $m ⊥ α$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ n$ ， $m ∥ α$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ，则 $m ∥ β$

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4. 圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 8$ 与圆 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的公切线共有（）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

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5. 直线 $x \sin θ + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{5 π}{6}, π)$ D、 $[0, \frac{π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}, π)$

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6. 人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，若平面 $α$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ ，且以 $\vec{u} = (a, b, c) (a b c \neq 0)$ 为法向量，设 $P (x, y, z)$ 是平面 $α$ 内的任意一点，由 $\vec{u} \cdot \vec{P_{0} P} = 0$ ，可得 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，此即平面的点法式方程．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x + 2 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 的方向向量为 $(1, 2, - 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{65}}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{5}{9}$

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7. 已知直线 $l_{1} : x - y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : x + 2 y - 5 = 0$ ，点M，N分别是直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 上的点，点 $A (4, 3)$ ，则 $△ A M N$ 周长的最小值是（）

A、4 B、6 C、9 D、12

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8. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ B A C = 90^{\circ}$ 且 $S A = A B = A C = \sqrt{2}$ ，若在 $△ S B C$ 内（包括边界）有一动点 $P$ ，使得 $A P$ 与平面 $S B C$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、6

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 4$ ， $C^{'} D^{'} = 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $A^{'} D^{'} = 2 \sqrt{2}$ B、 $A B = 4$ C、四边形 $A B C D$ 的面积为 $6 \sqrt{2}$ D、四边形 $A B C D$ 的周长为 $6 + \sqrt{6} + \sqrt{2}$

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10. 设 $A, B$ 是一个随机试验的两个事件，则（）

A、若 $A, B$ 对立，则 $A, B$ 一定互斥 B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = P (B)$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 $A, B$ 相互独立 D、若 $P (A) + P (B) = 1$ ，则 $A, B$ 一定对立

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2$ ， $M$ 为线段 $B C$ 上的动点，则（）

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、三棱锥 $C_{1} - A M B_{1}$ 的体积不变 C、 $|A_{1} M| + |C_{1} M|$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是 $B C$ 的中点时，过 $A_{1}, M, C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26}{9} π$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．

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13. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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14. 已知圆 $A : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $B : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $3 x + 4 y + t = 0$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 向圆 $A$ 引两条切线 $P C$ 和 $P D$ ，切点是 $C$ 和 $D$ ，再过点 $P$ 向圆 $B$ 引两条切线 $P E$ 和 $P F$ ，切点是 $E$ 和 $F$ ，若 $∠ C P D = ∠ E P F$ ，则实数 $t$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 已知 $△ A B C$ 的顶点 $A (4, 2)$ ，顶点 $C$ 在 $x$ 轴上， $A B$ 边上的高所在的直线方程为 $x + 2 y + m = 0$ .

(1)、求直线 $A B$ 的方程；

(2)、若 $A C$ 边上的中线所在的直线方程为 $x - y - 4 = 0$ ，求 $m$ 的值.

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16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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17. 已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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18. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角 $A - E F - C$ 的大小为60°，点M在线段AB上.

(1)、若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线 $O D / /$ 平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角 $M - E C - F$ 的余弦值，若不存在，说明理由.

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19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记 $|M N|$ 的最大值为m， $|M N|$ 的最小值为n，若 $m = 2 n$ ，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“ $E - F$ ”的“钻石点”.已知圆A： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{1}{3}$ ， P为圆A的“黄金点”

(1)、求点P所在曲线的方程.

(2)、已知圆B： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ， P，Q均为圆“ $A - B$ ”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线 $P Q$ 的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段 $P Q$ 为直径的圆，直线l： $y = k x + \frac{1}{3}$ 与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分 $∠ I W J$ ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.

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