北师大版数学八（上）第二章实数单元测试基础卷

试卷更新日期：2025-10-12 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 在实数 $2 π$ ， 0， $\sqrt{3}$ ， $- 3.14$ ， $\sqrt{4}$ ， $\frac{22}{7}$ ， $2.6161161116 \cdot \cdot \cdot$ （相邻两个6之间1的个数逐次加1）中，无理数有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 计算 $\sqrt{16}$ 的算术平方根为（）

A、 $\pm 4$ B、2 C、4 D、 $\sqrt{2}$

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3. 下列根式中是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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4. 若最简二次根式 $\frac{2}{3} \sqrt{2 m + 3}$ 与5 $\sqrt{4 m -1}$ 可以合并，则m的值为( )

A、-2 B、2 C、0 D、4

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5. 下列式子正确的是（）

A、 $\sqrt{49} = \pm 7$ B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = - 3$ C、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$

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6. 已知 $\sqrt{2.061} \approx 1.436$ ， $\sqrt{20.61} \approx 4.540$ ，则 $\sqrt{20610} \approx$ （）

A、14.36 B、143.6 C、45.4 D、454

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7. 下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{9}$ 的算术平方根是3 B、平行于同一条直线的两条直线互相平行 C、带根号的数都是无理数 D、三角形的一个外角大于任意一个内角

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8. 如图，数轴上表示1， $\sqrt{2}$ 的对应点分别为A，B， $A B = A C$ ，则点C所表示的数是（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $2 - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2} - 2$

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9. 若a= $\sqrt{2 b -4} + \sqrt{4 - 2 b}$ -1，则a+b的值为( )

A、1 B、0 C、-1 D、2

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10. 按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt[3]{2}$ D、 $\sqrt[3]{3}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. a，b是两个连续整数，若 $a < \sqrt{11} < b$ ，则 $a + b$ 的值是．

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12. 计算 ${(\sqrt{5})}^{2} - (1 - 3 \sqrt{2}) (1 + 3 \sqrt{2}) =$ ．

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13. 已知某正实数的平方根是 $a + 2$ 和 $7 - 2 a$ ，那么这个正实数是．

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14. 若式子 $\sqrt{4 - 2 x}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是．

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15. 如图，已知 $A B = A C$ ， $B$ 到数轴的距离为1，则数轴上 $C$ 点所表示的数为．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 化简：

(1)、 $\sqrt{8} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{32}$

(2)、 $(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{24} \div \sqrt{6}$

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17. 已知 $a + 3$ 的立方根是 $2$ ， $3 a + b - 1$ 的算术平方根是 $4$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求 $a + 2 b$ 的平方根．

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18. 根据表格解答下列问题：
x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14
x² 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196

(1)、190.44的平方根是 .

(2)、 $\sqrt{176.9}$ ≈ ， $\sqrt{18769}$ =.

(3)、若13.5＜ $\sqrt{n}$ ＜13.6，求满足条件的整数n的值.

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19.

(1)、如果 $\sqrt{11}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt{7}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $| a - b | + \sqrt{11}$ 的值．

(2)、已知 $5 a + 2$ 的立方根是3， $3 a + b - 1$ 的算术平方根是4，求 $a + 2 b$ 的平方根．

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20. 某居民小区有块形状为矩形 $A B C D$ 的绿地，长 $B C$ 为 $\sqrt{128}$ 米，宽 $A B$ 为 $\sqrt{50}$ 米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为 $(\sqrt{13} + 1)$ 米，宽为 $(\sqrt{13} - 1)$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 的周长．（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

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21. 甲同学用如图所示的方法作出 $C$ 点表示数 $\sqrt{13}$ ．在 $△ O A B$ 中， $∠ O A B = 90 °, O A = 2, A B = 3$ ，且点 $O, A, C$ 在同一数轴上， $O B = O C$ ．

(1)、请说明甲同学这样做的理由；

(2)、仿照甲同学的做法，在如图所示的数轴上描出表示 $- \sqrt{29}$ 的点 $F$ ．

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22. 阅读与思考：

下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务：

红山文化遗址中出土了大量形状各异的精美玉器，图1是类似三角形的玉璧．

为了计算这个三角形玉璧的面积（中间的圆孔忽略不计），我们小组建构了如图2所示的“玉璧模型”，经测量，三边的长度分别为 $A B = 13 cm$ ， $B C = 14 cm$ ， $A C = 15 cm$ ，同学们通过观察、猜想、实验等方法，进行如下探究活动：

活动一：如果 $△ A B C$ 的三边长分别为a，b，c，设p为 $△ A B C$ 周长的一半，那么利用海伦公式 $S_{△ A B C} = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ，就可求出 $△ A B C$ 的面积．

活动二：作辅助线，构造直角三角形，设未知数列方程，并求解，从而求出 $△ A B C$ 的面积，具体解答过程如下：

解：过点A作 $A D ⊥ B C$ 于点D，

则 $∠ A D B = ∠ A D C = 90 °$ ，

设 $B D = x cm$ ，则 $C D = (14 - x) cm$ ，

……

任务：

(1)、按“活动一”求

△ A B C

的面积；

(2)、补全“活动二”的解答过程．

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23. 阅读下面解题过程．
例：化简 $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}}$ ．
解： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{1}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2} + \sqrt{1}) \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{1})} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{(\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{1})^{2}} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1}}{1} = \sqrt{2} - 1$ ．
请回答下列问题．

(1)、归纳：请直接写出下列各式的结果：① $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} =$ ；② $\frac{1}{\sqrt{11} - \sqrt{10}} =$ ．

(2)、应用：化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2023} + \sqrt{2022}}$ ．

(3)、拓展： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}} =$ ．含 $n$ 的式子表示， $n$ 为正整数）

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x	13	13.1	13.2	13.3	13.4	13.5	13.6	13.7	13.8	13.9	14
x²	169	171.61	174.24	176.89	179.56	182.25	184.96	187.69	190.44	193.21	196

北师大版数学八（上）第二章 实数 单元测试基础卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共15分）

三、解答题（共8题，共75分）

北师大版数学八（上）第二章实数单元测试基础卷