第五章《位置与坐标》提升卷—鲁教版（五四制）数学七（上）单元测

试卷更新日期：2025-10-12 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 有一张方格纸，每个小方格的边长是 $1$ 厘米，上面堆叠有棱长 $1$ 厘米的小正方体 $($ 如图 $)$ ，小正方体 $A$ 的位置用 $(1,1, 1)$ 表示，小正方体 $B$ 的位置用 $(2,6, 5)$ 表示，那么小正方体 $C$ 的位置可以表示成( )

A、 $(6,2, 3)$ B、 $(2,2, 3)$ C、 $(2,6, 3)$ D、无正确选项

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2. 五子棋和象棋、围棋一样，深受同学们的喜爱，其规则：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图(甲执黑子先行，乙执白子后行)．观察棋盘，若点M的位置记为(8，4)，为了不让乙在短时间内获胜，甲必须将棋子落在（）

A、(4，3)处 B、(3，5)处 C、(1，7)处或(5，3)处 D、(7，1)处

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3. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，叶片“顶部” $A ， B$ 两点的坐标分别为 $(0, 3) ， (- 1, 1)$ ，则叶杆“底部”点 $C$ 的坐标为（　　）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(3, 0)$ D、 $(- 1, 3)$

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4. $2024$ 年巴黎奥运会见证了中国体育代表团创造夏奥会境外参赛最佳战绩．如图所示是巴黎部分景点的平面示意图，每个小正方形的边长表示 $1$ 个单位长度，如果将凯旋门的位置记作 $(- 4, 4)$ ，卢浮宫的位置记作 $(3, - 2)$ ，那么埃菲尔铁塔的位置是（）

A、 $(3, 3)$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- 3, - 3)$ D、 $(- 4, - 3)$

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5. 如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，第一分钟，它从原点运动到点(1，0)，第二分钟，它从点(1，0)运动到点(1，1)，而后接着按图中箭头所示在与x轴、y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2 022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是( )

A、(44，4) B、(44，3) C、(44，2) D、(44，1)

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6. 在平面直角坐标系中，若点 $A (m, n)$ 在第四象限，则点 $B (- 2 - m, 2 - n)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7. 在平面直角坐标系中，第四象限内的点 $P$ 到 $x$ 轴的距离是3，到 $y$ 轴的距离是2，已知 $P Q$ 平行于 $x$ 轴且 $P Q = 3$ ，则点 $Q$ 的坐标是（）

A、 $(5, - 3)$ B、 $(- 1, - 3)$ C、 $(5, - 3)$ 或 $(- 1, - 3)$ D、 $(6, - 2)$ 或 $(0, - 2)$

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8. 在平面直角坐标系中，已知点 A(3，-3)，P是y 轴上一点，则使△AOP 为等腰三角形的点 P 共有( )个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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9. 下列说法不正确的是（　　）

A、点 $A (a^{2} + 1, - |b| - 1)$ 一定在第四象限 B、点 $P (2, 6)$ 到 $x$ 轴的距离为6 C、若 $P (x, y)$ 中 $x y = 0$ ，则 $P$ 点在 $x$ 轴上 D、若 $x - y = 0$ ，则点 $P (x, y)$ 一定在第一，第三象限的角平分线上

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10. 如图，长方形纸片 $A B C D$ 的边 $B C$ 在 $x$ 轴上，且过原点，连结 $O D .$ 将纸片沿 $O D$ 折叠，使点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 上的点 $C'$ 处 $.$ 若 $C' (- 4,3)$ ，则点 $D$ 的纵坐标为（）

A、 $9$ B、 $12$ C、 $14$ D、 $15$

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二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.只要求填出最后结果.

11. 已知直线 $M N ∥ x$ 轴，点M的坐标为(1，2)，并且线段 $M N = 5$ ，则点N的坐.标为.

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12. 如图，方格图中一个小正方形的对角线长10m，则点(0，0)东偏北45°方向30m处是点(3，3)：点(4，2)南偏西45°方向20m处是点；

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A (5, 0)$ ， $B (0, 4)$ ，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接 $P O$ ， $P A$ ，则 $P O + P A$ 的最小值为．

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14. 如图①，某广场地面是用A，B，C三种类型的地砖平铺而成的．三种类型地砖的上表面图案如图②所示．现用有序数对表示每一块地砖的位置：第一行的第一块(A型)地砖记为(1，1)，第二块( B型)地砖记为(2，1)，……，若(m，n)位置恰好为A型地砖，则正整数m，n须满足的条件是

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15. 在平面直角坐标系中，有一系列的点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ， $⋯$ ， $P_{n}$ ， $⋯$ 其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点 $P_{n} (x, y)$ ，则 $P_{n + 1} (- y + 1, x + 2)$ ，若点 $P_{1}$ 的坐标为 (2， 0)，则点 $P_{2025}$ 的坐标为.

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16. 在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫作整点.已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上的整点.记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m，当m=3时，点B 的横坐标的所有可能值是；当点 B 的横坐标为4n（n为正整数）时，m=（用含 n 的代数式表示）.

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三、解答题：本大题共8小题，共72分.

17. 如图所示，点A表示3街与5大道的十字路口，点B表示5街与3大道的十字路口，如果用（3，5）→（4，5）→（5，5）→（5，4）→（5，3）表示由A到B的一条路径，那么你能用同样的方法写出由A到B的其他几条路径吗？请至少给出3种不同的路径．

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18. 如图1，将射线OX按逆时针方向旋转 $β$ 度，得到射线OY，如果点 $P$ 为射线OY上的一点，且 $O P = a$ ，那么我们规定用 $(a ， β)$ 表示点 $P$ 在平面内的位置，并记为 $P (a$ ， $β)$ .例如，图2中，如果 $O M = 8 ， ∠ X O M =$ $11 0^{°}$ ，那么点 $M$ 在平面内的位置记为 $M (8 ， 110)$ ，根据图形，解答下面的问题.

(1)、如图3，如果点 $N$ 在平面内的位置记为 $N (6 ， 30)$ ，那么 $O N =$ ， $∠ X O N =$ .

(2)、如果点A，B在平面内的位置分别记为 $A (5 ， 30) ， B (12 ， 120)$ ，试求A，B两点之间的距离并画出图形.

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19. 如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别为A（-3，3），B（-2，0），C（-1，1），△A'B'C'与△ABC 关于y轴对称，点A的对称点为A'。

(1)、作出ΔA'B'C'；

(2)、写出A'的坐标；

(3)、若P为x轴上一动点，当CP+A'P最小时，直接写出点P的坐标。

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20. 在平面直角坐标中，已知点 $M (2 a + b, b + c)$ 在第四象限．

(1)、若已知 $2 a - 1$ 的算术平方根是4， $2 b + 2$ 的立方根是 $- 2$ ， c是 $\sqrt{7}$ 的整数部分．试判断通过计算得到的点M是否满足题意，并说明理由；

(2)、若 $- 5 \leq b < 0$ ，请结合画图判断点 $N (2 a - c, 2 b + 10)$ 所在位置的区域，并说明理由．

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21. 在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”．

(1)、点 $A (- 3, 5)$ 的“长距”为______；

(2)、若点 $B (4 - 2 a, - 2)$ 是“角平分线点”，求a的值；

(3)、若点 $C (- 2, 3 b - 2)$ 的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为 $(9 - 2 b, - 5)$ ，请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $B$ 的坐标为 $(6, 4)$ ，线段 $A B ∥ x$ 轴．动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿 $B \to A$ 方向运动；同时，动点 $Q$ 从原点出发，沿 $x$ 轴向右运动，动点 $P$ ， $Q$ 的运动速度均为1个单位长度/秒．当点 $P$ 到达终点 $A$ 时，点 $Q$ 也随之停止运动．连接 $P Q$ ，过 $P Q$ 的中点 $M$ 作垂直于 $P Q$ 的线段 $M N$ ，点 $N$ 在 $P Q$ 右侧且 $M N = \frac{1}{2} P Q$ ，如图①．设运动时间为 $t$ 秒．

(1)、当 $t = 3$ 时，点 $M$ 的坐标为___________；点 $N$ 的坐标为___________；

(2)、当点 $N$ 落在 $x$ 轴上时，求 $t$ 的值；

(3)、如图②，连接 $N A$ ， $N O$ ，探究 $△ N A O$ 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

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23.
如图，在平面直角坐标系中，直线 $A B$ 与坐标轴交于 $A (- 4$ ， $0)$ ， $B (0$ ， $m)$ 两点，点 $C (2$ ， $3)$ ， $P (-$ $\frac{3}{2}$ ， $n)$ 在直线 $A B$ 上．我们可以用面积法求点 $B$ 的坐标．
[问题探究]：
（1）请阅读并填空：
一方面，过点 $C$ 作 $C N ⊥ x$ 轴于点 $N$ ，我们可以由 $A$ ， $C$ 的坐标，直接得出三角形 $A O C$ 的面积为             平方单位；另一方面，过点 $C$ 作 $C Q ⊥ y$ 轴于点 $Q$ ，三角形 $A O B$ 的面积 $=$ $\frac{1}{2}$ $B O \cdot A O = 2 m$ ，三角形 $B O C$ 的面积 $=$              平方单位．
$∵$ 三角形 $A O C$ 的面积 $=$ 三角形 $A O B$ 的面积 $+$ 三角形 $B O C$ 的面积，
$∴$ 可得关于 $m$ 的一元一次方程为
解这个方程，可得点 $B$ 的坐标为
[问题迁移]：
（2）请你仿照(1)中的方法，求点 $P$ 的纵坐标．
[问题拓展]：
（3）若点 $H (k$ ， $h)$ 在直线 $A B$ 上，且三角形 $B O H$ 的面积等于 $3$ 平方单位，请直接写出点 $H$ 的坐标．

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24. 我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题.

(1)、【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中， $A (3 ， 4)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (5 ， 1)$ .
作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ D E F$ ，并标注出点 $D$ ， $E$ ， $F$ ；

(2)、【拓展应用】
如图1，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，并且满足 $P A + P B$ 的值最小，请在图中找出点 $P$ 的位置（保留作图痕迹），并直接写出 $P A + P B$ 的最小值为.

(3)、【实际应用】
如图2，某地有一块三角形空地 $A B C$ ，已知 $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $G$ 是 $△ A B C$ 内一点，连接 $G B$ 后测得 $G B = 20$ 米，现当地政府欲在三角形空地 $A B C$ 中修一个三角形花坛 $G M N$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问 $△ G M N$ 的周长最少约多少米?（保留整数）（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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