第三章《勾股定理》提升卷—苏科版（2024）数学八（上）单元测

试卷更新日期：2025-10-12 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 如图，在 $Rt △ A O B$ 中， $∠ B A O = 90 °$ ， $A B = 1$ ，点A恰好落在数轴上表示 $- 2$ 的点上，以原点O为圆心， $O B$ 的长为半径画弧交数轴于点P，使点P落在点A的左侧，则点P所表示的数是（）

A、 $- \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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2. 等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形底边上的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $4 \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{15}$

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3. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m， $n (m > n)$ ．若小正方形面积为5， ${(m + n)}^{2} = 21$ ，则大正方形面积为（）

A、12 B、13 C、14 D、15

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4. 如图，以 $R t △ A B C$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 $A B = 5$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、 $\frac{25}{4}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、25

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5. 下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（）

A、3，4，5 B、4，5，6 C、2， $\sqrt{3}$ ， 2 D、8，15，16

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6. 已知△ $A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是 $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 的对边，下列条件中不能判断△ $A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $b^{2} - c^{2} = a^{2}$ B、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$ C、 $∠ A = ∠ B - ∠ C$ D、 $a : b : c = 8 : 15 : 17$

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7. 九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈 $= 10$ 尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（）

A、4.55尺 B、5.45尺 C、4.2尺 D、5.8尺

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8. 如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度 $D E = 6 cm$ ，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度 $B F = 8 cm$ ，此时摆锤与静止位置时的水平距离 $B C = 10 cm$ 时，钟摆 $A D$ 的长度是（　　）

A、17 B、24 C、26 D、28

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二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.只要求填出最后结果.

9. 已知 $△ A B C$ 中， $B C = a$ ， $A C = b$ ， $A B = c$ ，且满足 $|a - 5| + \sqrt{b - 12} + {(c - 13)}^{2} = 0$ ．则 $A B$ 边上的高为．

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10. 为了比较、 $\sqrt{5} + 1$ 与 $\sqrt{10}$ 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D 在BC 上且BD=AC=1，通过计算可得 $\sqrt{5} + 1$ $\underline{\sqrt{10}}$ (填“>”“<”或“=”).

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11. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC= $\sqrt{2}$ ，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC，连接 BM，则 BM 的长为.

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12. 如图， $Rt △ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，则其内部五个小直角三角形的周长之和为．

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13. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则 $S_{1} - S_{2} + S_{3} - S_{4}$ 的值为

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14. 临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点 $C$ ， $B$ 为 $A C$ 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为．

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15. 等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， C A = C B = 4 \sqrt{2} ， C D = \frac{\sqrt{2}}{4} C B$ ，若点 $E ， F$ 为边 $A C$ ， $A B$ 上动点，且 $A F = C E$ ，则 $D E + C F$ 的最小值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A C = 2$ ，点 $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，则点 $O$ 到 $△ A B C$ 三个顶点的距离和的最小值是．

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17. 如图，点P是在正 $△ A B C$ 内一点． $P A = 6$ ， $P B = 8$ ， $P C = 10$ ，将线段 $A P$ 绕点A逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A P^{'}$ ，连接 $P^{'} P$ 、 $P^{'} C$ ，四边形 $A P C P^{'}$ 的面积为．

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18. 科技改变生活，小莹计划购买一台圆形扫地机器人，有以下6种不同的尺寸可供选择，直径（单位：cm）分别是：34，34.5，37，39.5，40，42．如图是小莹家衣帽间的平面示意图，扫地机器人放置在该房间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机器人能从底座脱离后打扫全屋地面，小莹可选择的扫地机器人尺寸最多有种．

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三、解答题：本大题10小题，共96分.

19. 图①、图②均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)、网格中 $△ A B C$ 的形状是______；

(2)、在图①中确定一点 $D$ ，连接 $D B$ 、 $D C$ ，使 $△ D B C$ 与 $△ A B C$ 全等；

(3)、在图②中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点 $P$ ，连接 $C P$ ，使 $△ A C P$ 与 $△ A B C$ 的面积比 $1 : 2$ ．

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20. 阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为 $\sqrt{5}$ ，线段BC的长度为 $\sqrt{2}$ ，显然， $\sqrt{2} < \sqrt{5}$ ．

(1)、试比较 $\sqrt{2} + 1$ 与 $\sqrt{5}$ 的大小，并说明理由；

(2)、请在图2中尝试用构造图形的方法比较 $\sqrt{5} + 2 \sqrt{2}$ 与 $\sqrt{17}$ 的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较 $\sqrt{5} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{10}$ 与 $\sqrt{61}$ 的大小；

(3)、请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(10 - x)^{2} + 16}$ 的最小值．

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21. 小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 13$ 米， $B C = 12$ 米， $C D = 3$ 米， $A D = 4$ 米．

(1)、求线段 $A C$ 的长；

(2)、若该背景板制作成本为10元/平方米，制作这样一块背景板需花费多少元？

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22. 探究：

(1)、图（1）是由四个全等的直角三角形紧密拼接形成的飞镖状图形，若AB+AC=20，OC=5，求该飞镖状图形的面积.

(2)、图（2）是由八个全等的直角三角形紧密拼接形成的大正方形ABCD，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT 的面积分别为 S₁ ， S₂ ， S₃.若 $S_{2} = 6,$ 求 $S_{1} + S_{3}$ 的值.

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23. 数学兴趣小组利用所学数学知识来解决实际问题，实践报告如下：

活动课题风筝离地面垂直高度探究

问题背景

风筝由我国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成本鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．

测量数据抽象模型

小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的长为15米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为17米，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．

该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以下问题．

(1)、运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度．

(2)、如果想要风筝沿DA方向再上升12米，且BC长度不变，则应该再放出多少米线

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24. 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．

(1)、如图 $1$ ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
方法 $1$ ： $S_{大正方形} =$ ；方法 $2$ ： $S_{大正方形} =$ ；根据以上信息，可以得到的等式是；

(2)、如图 $2$ ，大正方形是由四个边长分别为 $a ， b ， c$ 的直角三角形（ $c$ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 $a ， b ， c$ 之间的数量关系；

(3)、在（ $2$ ）的条件下，若 $a = 3 ， b = 4$ ，求斜边 $c$ 的值．

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25. 某校八年级同学测量池塘两端A，B的距离，测量方案如下表：

课题	测量池塘两端A，B的距离
测量工具	皮尺，标杆
测量方案示意图
测量步骤及数据	（1）利用标杆确定A，M，F在同一直线上，量得 $M F = 3 m$ ，然后找到了点N，且 $M N = 5 m$ ， $F N = 4 m$ ；（2）测得 $A M = 4 m$ ，再在 $F N$ 的延长线方向确定点E，测得 $E N = 20 m$ ；（3）在 $B E$ 的延长线方向确定点D，使得 $E D = B E$ ；（4）确定点C、点A和点E三点共线，测得 $C E = 25 m$ ；（5）测得 $C D = 40 m$ ．
任务一	请你根据上述测量方案及数据，求出 $A E$ 的长；
任务二	请你证明 $A B = C D$ ．

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26. 已知 $△ A B C$ ，点 $P$ 是平面内任意一点（不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合），若点 $P$ 与 $A$ ， $B$ ， $C$ 中的某两点的连线的夹角为直角，则称点 $P$ 为 $△ A B C$ 的一个“勾股点”．

(1)、如图（1），若点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点， $∠ A = 55 °$ ， $∠ A B P = 10 °$ ， $∠ A C P = 25 °$ ，试说明点 $P$ 是 $△ A B C$ 的一个“勾股点”；

(2)、如图（2），已知点 $D$ 是 $△ A B C$ 的一个“勾股点”， $∠ A D C = 90 °$ ，且 $∠ D C B = ∠ D A C$ ，若 $A D = 3 C D = 3$ ， $B C = 6$ ，求 $A B$ 的长；

(3)、如图（3），在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = \sqrt{41}$ ，点 $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $D B = D A$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $C D = 3$ ，点 $D$ 能否是 $△ A B C$ 的“勾股点”，若能，求出 $B C$ 的长；若不能，请说明理由．

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27. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)、①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

(2)、①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，直角三角形面积为 $S_{3}$ ，请判断 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的关系并证明；

(3)、如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ α$ ，则当 $∠ α$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
① $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} =$ ______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．

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