第三章《一次方程与方程组》提升卷—沪科版数学七（上）单元测

试卷更新日期：2025-10-12 类型：单元试卷

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一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分.

1. 下列式子中，方程的个数是（）
$① 3 \times 3 + 1 = 5 \times 2$ ； $② {(y - 2)}^{2} \geq 0$ ； $③ 3 x + 1 = 5 y$ ； $④ 7 x - 1 = \frac{1}{2} x + 4$ ； $⑤ x + y + z$ ；

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 下列等式变形：①若x=y，则 ax= ay；②若x=y，则 $\frac{x}{a} = \frac{y}{a} ；$ ③若 ax= ay，则x=y；④若 $\frac{x}{a} = \frac{y}{a} ，$ 则x=y.其中正确的有( )

A、③④ B、①② C、①④ D、②③

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3. 若方程 $5 x - 6 = - 3 x + 10$ 和 $3 x - 2 m = 10$ 的解相同，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 为使全国人民都过上幸福的小康生活，近年来各地扶贫办致力于帮扶当地区特色产品走进市民的菜篮子，助力更多优质农产品走出地区、走向全国．已知有一扶贫农产品去年和今年两年的销售总额为180万元，其中该扶贫农产品去年的价格为15元/千克，今年的价格为12元/千克，今年的销售产量比去年增长了25%．今年该扶贫农产品销售（）千克．

A、60000 B、75000 C、6000 D、7500

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5. 如图，一块长方形的地面 $A B C D$ 是由4种不同的正方形地板无缝拼接而成的，若长方形 $A B C D$ 的周长为72，则①号正方形的边长为（）

A、9 B、12 C、14 D、18

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6. 若 $\{\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ 是二元一次方程 $3 x + y = 0$ 的一个解 $(a \neq 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a ， b$ 异号 B、 $2 - 6 a - 2 b = 2$ C、 $\frac{a}{b} = - 3$ D、满足条件的数对 $(a ， b)$ 有无数对

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7. 用加减法解方程组 ${\begin{matrix} 2 x - 3 y = 5 ① \\ 3 x - 2 y = 7 ② \end{matrix}$ 下列解法错误的是（）

A、①×3－②×2，消去x B、①×2－②×3，消去y C、①×(－3)＋②×2，消去x D、①×2－②×(－3)，消去y

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8. 解方程组 $\{\begin{matrix} a x + 2 y = 7, \\ c x - d y = 4 \end{matrix}$ 时，一个学生把a看错后得到 $\{\begin{matrix} x = 5, \\ y = 1, \end{matrix}$ 而正确的解是 ${\begin{cases} x = 3, \\ y = - 1, \end{cases}$ 则a，c，d的值是( )

A、不能确定 B、a=3，c=1，d=1 C、c，d不能确定，a=3 D、a=3，c=2，d=-2

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9. 小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（）

A、21，32 B、12，23 C、31，22 D、41，42

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10. 程大位是我国明朝商人，珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法.书中有如下问题：
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人?下列求解结果正确的是（）.

A、大和尚25人，小和尚75人 B、大和尚75人，小和尚25人 C、大和尚50人，小和尚50人 D、大、小和尚各100人

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11. 已知某速食店销售的套餐内容为一块鸡排和一杯可乐，且一份套餐的价钱比单点一块鸡排再单点一杯可乐的总价钱便宜 4 元．阿俊打算到该速食店买两份套餐，若他发现店内有单点一块鸡排就再送一块鸡排的促销活动，且单点一块鸡排再单点两杯可乐的总价钱，比两份套餐的总价钱便宜 1 元，则根据题意，下列结论正确的是（）

A、一份套餐的价钱为 14 元 B、一份套餐的价钱为 12 元 C、单点一块鸡排的价钱为 9 元 D、单点一块鸡排的价钱为 7 元

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12. 在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4.下列结论中，正确的有（）
①（a-b）²=4； ②ab=15；③a²+b²=34； ④a²-b²=21.

A、①②③ B、0①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.只要求填出最后结果.

13. 古代算书《四元玉鉴》中有“两果问价”问题：“甜果九个十一文钱，苦果七个四文钱，九百九十九文钱，甜果苦果买一千．试问甜苦果几个？”该问题意思是：已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，那么甜果、苦果各买了多少个？设甜果买了 $x$ 个，苦果买了 $y$ 个，根据题意，可列方程组是．

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14. 若 $x = 3$ 是关于x的方程 $a x - 2 b = 3$ 的解，则 $6 a - 4 b + 5$ 的值为．

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15. 若关于 $x$ 的方程 $|x - 3| = a x$ 有实数根，则 $a$ 的取值范围是

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16. 某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A生产线共加工a 吨原材料，加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b 吨原材料，加工时间为（2b+3）小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的原材料的质量与分配到 B生产线的原材料的质量的比为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5 吨原材料后，又给 A生产线分配了m 吨原材料，给B生产线分配了n 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为.

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三、解答题：本大题共7小题，共68分.

17. 解下列方程组：

(1)、 $\{\begin{matrix} 2 x - 3 y = 3 ， \\ x + 2 y = - 2 . \end{matrix}$

(2)、 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 10 ， \\ \frac{x}{2} = 1 + \frac{y + 1}{3} . \end{matrix}$

(3)、 $\{\begin{matrix} x + y + z = 26 ， \\ x - y = 1 ， \\ 2 x - y + z = 18 . \end{matrix}$

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18.

(1)、解下列关于x的方程：
①4x+b= ax-8(a≠4).
②mx-1= nx.
③ $\frac{1}{3} m (x - n) = \frac{1}{4} (x + 2 m) .$

(2)、a为何值时，方程 $\frac{x}{3} + a = \frac{x}{2} - \frac{1}{6} (x - 12)$ 有无数多个解?无解?

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19. 阅读探索：
材料一：解方程组 $\{\begin{array}{l} (a - 1) + 2 (b + 2) = 6 \\ 2 (a - 1) + (b + 2) = 6 \end{array}$ 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 $a - 1 = x$ ， $b + 2 = y$ ，原方程组可化为 $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 6 \\ 2 x + y = 6 \end{array}$
解得 $\{\begin{array}{l} x = 2 \\ y = 2 \end{array}$ ，即 $\{\begin{array}{l} a - 1 = 2 \\ b + 2 = 2 \end{array}$ ，解得 $\{\begin{array}{l} a = 3 \\ b = 0 \end{array}$
材料二：解方程组 $\{\begin{matrix} 4 x + 10 y = 6 ① \\ 8 x + 22 y = 10 ② \end{matrix}$ 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② $8 x + 20 y + 2 y = 10$ ，变形为 $2 (4 x + 10 y) + 2 y = 10$ ③，把方程①代入③得， $2 \times 6 + 2 y = 10$ ，则 $y = - 1$ ；把 $y = - 1$ 代入①得， $x = 4$ ，所以方程组的解为： $\{\begin{array}{l} x = 4 \\ y = - 1 \end{array}$
根据上述材料，解决下列问题：

(1)、运用换元法解求关于 $a$ ， $b$ 的方程组： $\{\begin{array}{l} (\frac{a}{4} - 1) + 2 (\frac{b}{3} + 2) = 4 \\ 2 (\frac{a}{4} - 1) + (\frac{b}{3} + 2) = 5 \end{array}$ 的解；

(2)、若关于 $x$ ， $y$ 的方程组 $\{\begin{array}{l} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{array}$ 的解为 $\{\begin{array}{l} x = 10 \\ y = 6 \end{array}$ ，求关于 $m$ ， $n$ 的方程组 $\{\begin{matrix} 5 a_{1} (m - 3) + 3 b_{1} (n + 2) = c_{1} \\ 5 a_{2} (m - 3) + 3 b_{2} (n + 2) = c_{2} \end{matrix}$ 的解．

(3)、已知 $x$ 、 $y$ 、 $z$ ，满足 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 z + 12 y = 47 ① \\ 2 x + z + 8 y = 36 ② \end{array}$ ，试求 $z$ 的值．

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20. 阅读与思考
【阅读理解】
我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}|$ ，称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ．
小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组 $\{\begin{matrix} 3 x + 2 y = 5 \\ 4 x + 6 y = 7 \end{matrix}$ 的解．
解：记 $D = |\begin{matrix} 3 & 2 \\ 4 & 6 \end{matrix}| = 3 \times 6 - 2 \times 4 = 10$ ， $D_{x} = |\begin{matrix} 5 & 2 \\ 7 & 6 \end{matrix}| = 5 \times 6 - 2 \times 7 = 16$ ，
$D_{y} = |\begin{matrix} 3 & 5 \\ 4 & 7 \end{matrix}| = 3 \times 7 - 5 \times 4 = 1$ ，则原方程组的解为 $\{\begin{matrix} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{1}{10} \end{matrix}$
【类比应用】

(1)、若二阶行列式 $|\begin{matrix} x & x + 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}| = 1$ ，求x的值；

(2)、已知方程组 $\{\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 2 \\ 2 x - y = 5 \end{array}$ 利用二阶行列式求得 $D = - 11$ ，请求 $D_{x}$ ， $D_{y}$ ，并写出该方程组的解．

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21. 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型
甲
乙
丙
汽车运载量（吨/辆）
5
8
10
汽车运费（元/辆）
400
500
600

(1)、若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？

(2)、为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？

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22. 综合与实践

探究操场跑道的设计与分析
素材	标准田径跑道的设计如右图。直道长度：84.39米；跑道数量：8条；弯道半径：最内圈为36.5米；跑道宽度：1.22米；注：由内圈向外圈数，最内圈跑道记为第1道，以此类推，最外圈跑道记为第8道；
任务一	计算第1道跑道的长（实际跑线在分道线外侧，所以跑道长比实际跑线略短）（π取3.14）
任务二	计算第8道与第1道的长度之差.（π取3.14，保留一位小数）
任务三	小明从A点沿第1圈跑道逆时针跑，小方从B点的正上方（垂直于AB）沿第4圈跑道顺时针跑，两人同时出发，21秒后在跑道的CD段相遇，已知小方的速度比小明的速度快1.03米/秒，分别求出小明与小方的速度.（取3，保留两位小数）

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23. 在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究。

探究主题：月历中的数学
初步探究	（1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：3×17-2×18= ▲ 。
猜测说明	（2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值。设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明。
深度探究	（3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差^为360，求a，b的值。

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车型	甲	乙	丙
汽车运载量（吨/辆）	5	8	10
汽车运费（元/辆）	400	500	600