等腰三角形-浙教版数学八年级上册培优训练

试卷更新日期：2025-10-10 类型：复习试卷

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一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条中线，P是 $A D$ 上一个动点，则下列线段的长度等于 $B P + E P$ 最小值的是（）

A、 $B C$ B、 $A D$ C、 $C E$ D、 $A C$

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2. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P₁ ， P₂ ， P₃ ， P₄四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 如图，Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}, ∠ B = 3 0^{°}$ ，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形.其作法错误的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $▵ A B C$ 是边长为 $1$ 的正三角形，点 $D$ ， $E$ 分别是边 $A B$ ， $A C$ 上的动点，连结 $B E$ ， $C D$ 交于点 $F$ ，且 $∠ B F D = 60^{\circ} .$ 作 $D G ⊥ B C$ 于点 $G$ ， $E H ⊥ B C$ 于点 $H .$ 下列两条线段的和，不随 $D$ ， $E$ 的运动而改变的是( )

A、 $A E + B D$ B、 $D F + E F$ C、 $G H + A E$ D、 $D G + E H$

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6. 如图所示，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4, A D = 8$ ，将矩形沿 $B D$ 折叠，点 $A$ 落在点 $E$ 处， $D E$ 与 $B C$ 交于点 $F$ ，则重叠部分 $△ B D F$ 的面积是（）

A、20 B、16 C、12 D、10

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7. 如图，等边 $△ A B C$ 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， $B P = A Q = 4$ ， $Q D = 3$ ，在BD上有一动点E，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、10 D、12

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二、填空题

8. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，（1）BD平分∠ABC；（2）点D是线段AC的中点；（3）AD=BD=BC；（4）△BDC的周长等于AB+BC，上述结论正确的是．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C$ 和 $∠ A B C$ 的平分线 $A E$ ， $B F$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 交 $B C$ 于 $E$ ， $B F$ 交 $A C$ 于 $F$ 过点 $O$ 作 $O D ⊥ B C$ 于 $D$ ，下列四个结论：① $∠ A O B = 90 ° + \frac{1}{2} ∠ C$ ；②当 $∠ C = 60 °$ 时， $A F + B E = A B$ ；③若 $O D = a$ ， $A B + B C + C A = 2 b$ ，则 $S_{△ A B C} = a b$ ．其中正确的是．（填写正确的序号）

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $∠ B = 15^{\circ}$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $D$ ，交 $A B$ 于 $E$ ，若 $D B = 10 cm$ ，则 $C D$ 的长为 $cm$ ．

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $20$ ， $A B$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 边于点 $E$ ， $F$ ，若 $D$ 为 $B C$ 边的中点， $M$ 为线段 $E F$ 上一动点，则 $B M + D M$ 的最小值为．

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12. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．

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13. 如图， $∠ A O B = 30 °$ ， M，N分别为射线 $O A$ ， $O B$ 上的动点，P为 $∠ A O B$ 内一点，连接 $P M$ ， $P N$ ， $M N$ ．当 $△ P M N$ 周长取得最小值时，则 $∠ M P N$ 的度数为．

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14. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{7}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， P为 $△ A B C$ 内一点， $∠ A P B = ∠ A P C = 120 °$ ，则 $P A + P B + P C$ 的最小值为．

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15. 如图，已知 $∠ A O B = 60 °, O D$ 平分 $∠ A O B$ ， P是OD上一定点，以点P为顶点作 $∠ M P N = 120 °$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P旋转，PM与OA交于点E ， PN与OB交于F ，连接EF交OP于点G（点G在O ， P之间），以下4个结论：① $△ E P F$ 是等腰三角形；②当 $P M ⊥ O A$ 时， $△ O E F$ 是等边三角形；③当 $E F ⊥ O A$ 时， $△ E O G ≌ △ F P G$ ；④在旋转过程中，四边形OEPF的面积也随之变化．其中正确的选项有．

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三、解答题

16. 以线段AC、CB为底按顺时针方向在平面内构造等腰 $△ A C D$ 与等腰 $△ C B E$ ， $D A = D C$ ， $E C = E B$ ， $∠ A D C = α$ ， $∠ C E B = β$ ，且 $α + β = 180 °$ ．

(1)、如图1，当点A、B、C三点共线时，求证： $D C ⊥ C E$ ；

(2)、如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接 $A B$ ，点 $F$ 为 $A B$ 中点，连接 $D F$ 、 $E F$ ，求证： $D F ⊥ E F$ ；

(3)、如图3，当点 $B$ 在线段 $A D$ 上运动时（点 $B$ 与A、D不重合），请直接写出 $∠ A E C$ 与 $∠ D B C$ 的数量关系．（直接填写答案）

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C A = C B$ ， $∠ A C B = 4 ∠ A$ ，点D是 $A C$ 边的中点， $D E ⊥ A C$ 交 $A B$ 于点E，连接 $C E$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的度数；

(2)、 $A E = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，点 $P$ 在 $A C$ 上运动，点 $D$ 在 $A B$ 上运动， $P D$ 始终保持与 $P A$ 相等， $B D$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $B D$ 于点 $F$ ，连接 $D E$ ．

(1)、判断 $D E$ 与 $P D$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $P A = 2$ ，求线段 $D E$ 的长．

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19. 如图， △ABC是等边三角形，点D沿ABC的边从点A运动到点B，再从点B运动到点C点E是边BC上一点，运动过程中始终满足BD=CE.

(1)、如图1，当点D在AB边上时，连接AE，CD相交于点G①求证：AE=CD.②求∠CGE的度数.

(2)、如图2，当点D在BC边上时，延长AB至点F，使BF=BE，连接AE.DF.判断AE与DF是否相等?并说明理由.

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20. 如图，点 $O$ 是等边 $△ A B C$ 内一点， $D$ 是 $△ A B C$ 外的一点， $∠ A O B = 110 °$ ， $∠ B O C = α$ ， $△ B O C$ ≌ $△ A D C$ ， $∠ O C D = 60 °$ ，连接 $O D$ ．

(1)、求证： $△ O C D$ 是等边三角形；

(2)、当 $α = 150 °$ 时，试判断 $△ A O D$ 的形状，并说明理由；

(3)、探究：当 $α$ 为多少度时， $△ A O D$ 是等腰三角形．

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21. 【问题背景】
如图1，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C$ ， $∠ B A C = 9 0^{°}$ ， AH是 $△ A B C$ 的高， $A H = 4 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，过点C的直线 $M N ⊥ B C$ ，动点D从点C开始沿射线CB方向以3cm/s的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线MN上以2cm/s的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t(t>0)秒

(1)、【思考尝试】请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD=cm，CE=cm

(2)、当t为多少时， $△ A B D$ 的面积为 $12 c m^{2}$ ？

(3)、【深入探究】如图2，当点D在线段BC上，且 $A D ⊥ A E$ 时， $△ A B D$ 是否与 $△ A C E$ 全等？说明理由，此时 $C D + C E$ 的值为多少？

(4)、请利用备用图探究，当点D在线段CB的延长线上，且 $A D ⊥ A E$ 时，CD与CE有什么数量关系？请说明理由.

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