北师大版数学九（上）第二章一元二次方程单元测试基础卷

试卷更新日期：2025-10-07 类型：单元试卷

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一、选择题（每题5分，共50分）

1. 一元二次方程 $3 x^{2} - 5 - 4 x = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、3， $- 5 ， - 4$ B、3， $- 4$ ， 5 C、 $3$ ， $- 4$ ， $- 5$ D、3， $- 5$ ， 4

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2. 初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物.小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）.已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　）

A、16 B、17 C、18 D、19

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是方程 $x^{2} - x - 2024 = 0$ 的两个实数根，则 $a b + a + b + 1$ 的值是（　　）

A、2022 B、 $- 2022$ C、 $- 2023$ D、2023

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4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - 6 x + 9 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 1$ B、 $k < 1$ 且 $k \neq 0$ C、 $k \neq 0$ D、 $k > 1$

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5. 某次乒乓球比赛采取单循环赛制（每两球队之间都赛一场），共安排了28场比赛，求这次比赛共有几支球队参加？设共有x支球队参加比赛，可列方程为（）

A、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 28$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 28$ C、 $x (x + 1) = 28$ D、 $x (x - 1) = 28$

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6. 一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 配方后可化为（）

A、 ${(x + 2)}^{2} = 3$ B、 ${(x + 2)}^{2} = 5$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x - 2)}^{2} = 5$

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7. 已知 $x_{1}, x_{2}$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (t + 1) x + t^{2} + 5 = 0$ 的两个实数根．若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 36$ ，则 $t$ 的值是（）

A、 $- 7$ 或3 B、 $- 7$ C、3 D、 $- 3$ 或7

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8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）

A、 $3 (x - 1) x = 6210$ B、 $3 (x - 1) = 6210$ C、 $(3 x - 1) x = 6210$ D、 $3 x = 6210$

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二、填空题（每题5分，共25分）

9. 一元二次方程x²=x的根是.

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10. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程．

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11. 非零实数 $a, b (a \neq b)$ 满足 $a^{2} - a - 2021 = 0$ ， $b^{2} - b - 2021 = 0$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值是．

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三、解答题（共8题，共75分）

12. 已知 $x_{1} ， x_{2}$ 是一元二次方程 $2 x^{2} - 2 x + m + 1 = 0$ 的两个实数根．

(1)、求实数m的取值范围；

(2)、如果 $x_{1} ， x_{2}$ 满足不等式 $3 + 4 x_{1} x_{2}$ > $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} ，$ 且m为整数，求m的值．

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13. 化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？

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14. 暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=销售总额-进货成本)

(1)、若该纪念品的销售单价为45元时则当天销售量为件．

(2)、当该纪念品的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元．

(3)、该纪念品的当天销售利润有可能达到3700元吗?若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．

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15. 【知识技能】
材料 $1$ ：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ．
材料 $2$ ：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解：∵一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ， ∴ $m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
则 $m^{2} n + m n^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$ ．
【数学理解】
（1）一元二次方程 $4 x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ _____， $x_{1} x_{2} =$ ______．
【拓展探索】
（2）已知一元二次方程 $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} + n^{2}$ 的值．
（3）已知实数 $s$ ， $t$ 满足 $2 s^{2} + 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} + 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} - \frac{1}{t}$ 的值．

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16. 【阅读理解】
若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的根均为整数，则称方程为“快乐方程” $.$ 通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式 $b^{2} - 4 a c$ 一定为完全平方数 $.$ 现规定 $F (a, b, c) = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ 为该“快乐方程”的“快乐数” $.$ 例如“快乐方程” $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ 的两根均为整数，其“快乐数” $F (1, - 3, - 4) = \frac{4 \times 1 \times (- 4) - (- 3)^{2}}{4 \times 1} = \frac{25}{4}$ ，若有另一个“快乐方程” $p x^{2} + q x + r = 0 (p \neq 0)$ 的“快乐数” $F (p, q, r)$ ，且满足 $r \cdot F (a, b, c) = c \cdot F (p, q, r)$ ，则称 $F (a, b, c) 与 F (p, q, r)$ 互为“开心数”．

(1)、 “快乐方程” $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的“快乐数”为；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2 m - 1) x + m^{2} - 2 m - 3 = 0 (m$ 为整数，且 $1 < m < 6)$ 是“快乐方程”，求 $m$ 的值，并求该方程的“快乐数”；

(3)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x + m + 1 = 0 与 x^{2} - (n + 2) x + 2 n = 0 (m, n$ 均为整数 $)$ 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，请直接写出 $m ， n$ 的值．

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北师大版数学九（上）第二章 一元二次方程单元测试基础卷

一、选择题（每题5分，共50分）

二、填空题（每题5分，共25分）

三、解答题（共8题，共75分）

北师大版数学九（上）第二章一元二次方程单元测试基础卷