北师大版数学九（上）第一章特殊平行四边形单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-10-07 类型：单元试卷

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一、选择题（每题5分，共50分）

1. 如图，将长方形 $A B C D$ 绕其顶点B顺时针转到如图所示的位置，则旋转角可以为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（）

A、若 $A B ⊥ B C$ ，则 $▱ A B C D$ 是菱形 B、若 $A C = B D$ ，则 $▱ A B C D$ 是矩形 C、若 $A C ⊥ B D$ ，则 $▱ A B C D$ 是正方形 D、若 $A B = A D$ ，则 $▱ A B C D$ 是正方形

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3. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 C D$ 上的点，且 $A E = C F, E F$ 与 $A C$ 相交于点O．若 $∠ D A C = 36 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $54 °$ C、 $56 °$ D、 $64 °$

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4. 如图，将边长为 $8 cm$ 的正方形 $A B C D$ 折叠，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的中点 $E$ 处，点 $A$ 落在 $F$ 处，折痕为 $M N$ ，则线段 $C N$ 的长是（）

A、 $3 cm$ B、 $4 cm$ C、 $5 cm$ D、 $6 cm$

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5. 如图，由四个全等的直角三角形和小正方形 $E F G H$ 拼成正方形 $A B C D$ ，连接 $C E$ 交 $D G$ 于 $M$ ．若 $\frac{M G}{F G} = \frac{1}{3}$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，则 $C E$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\sqrt{17}$

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6. 如图， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， E为 $A B$ 的中点， $A D$ 与 $B C$ 相交于点F， $∠ C D E = 56 °$ ，则 $∠ D C E$ 的度数是（　　）

A、56° B、62° C、63° D、72°

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7. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，如果 $∠ C A E = 15 °$ ，那么 $∠ B O E$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $65 °$ C、 $75 °$ D、 $67.5 °$

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8. 如图，在矩形 $O A B C$ 中，点 $B$ 的坐标为 $(1, 4)$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、 $5$ B、 $4$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{19}$

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9. 正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $P$ 是 $A D$ 上异于点 $A 、 D$ 的点， $∠ A B P + ∠ B P E = 90^{\circ}$ ，则 $\frac{B P}{P E}$ 的值是( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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10. 如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，P是对角线 $B D$ 上一点， $P E ⊥ B C$ 于点E， $P F ⊥ C D$ 于点F，连接 $A P, E F$ ．给出下列结论：① $P D = \sqrt{2} E C$ ；②四边形 $P E C F$ 的周长为8：③ $△ A P D$ 一定是等腰三角形；④ $A P = E F$ ；⑤ $E F$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ ；⑥ $A P ⊥ E F$ ．其中正确结论的序号为（）

A、①②④⑤⑥ B、②③④⑤ C、①②④⑤ D、②④⑤⑥

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二、填空题（每题5分，共25分）

11. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为.

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12. 如图，在菱形纸片 $A B C D$ 中， $∠ A = 60^{\circ}, P$ 为 $A B$ 中点，折叠菱形纸片 $A B C D = 6$ ，使点 $C$ 落在 $D P$ 所在的直线上，得到经过点 $D$ 的折痕 $D E$ . 则 $∠ D E C$ 的大小为度.

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为．

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14. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $A E = 1$ ，点P为对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $P E + P B$ 的最小值为．

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15. 如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}, A D = 2$ ， $E$ 为边 $A D$ 的中点，点 $F$ 在边 $C D$ 上，连接 $E F$ ，将 $△ D E F$ 沿 $E F$ 翻折，点 $D$ 的对应点为 $D^{'}$ ，连接 $B D^{'}$ ．若 $B D^{'} = 2$ ，则 $D F =$ ．

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三、解答题（共8题，共75分）

16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中（ $A B > B C$ ），对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，延长 $B C$ 到点E，使得 $C E = B C$ ，连接 $D E$ ，点F是 $D E$ 的中点，连接 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $D O C F$ 是菱形；

(2)、若矩形 $A B C D$ 的周长为20， $A C = 8$ ，求四边形 $D O C F$ 的面积．

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17. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $C D$ 上， $A F ⊥ B E$ ，垂足为 $M$ ．

(1)、求证： $A E = D F$ ；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长是8， $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ，点 $N$ 是 $B F$ 的中点，求 $M N$ 的长．

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18. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D ， B C = A D$ ， $E ， F$ 分别是边 $C D ， B C$ 上的点，连接 $B E ， D F$ 交于点 $G$ ， $B E = D F$ ．添加下列条件之一使四边形 $A B C D$ 成为菱形：① $C E = C F$ ；② $B E ⊥ C D ， D F ⊥ B C$ ．

(1)、你添加的条件是______（填序号），并证明．

(2)、在（1）的条件下，连接 $C G$ ，若 $C G = 2 ， B C = 2 \sqrt{6} ， B G = 2 \sqrt{3}$ ，求菱形 $A B C D$ 的面积．

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19. 在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点D，点E是 $A C$ 边的中点，过A作 $A F ∥ B C$ 交 $D E$ 的延长线于点F，连接 $C F$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A D C F$ 是矩形．

(2)、如图2，当 $A B = A C$ 时，取 $A B$ 中点G，连接 $E G 、 D G$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积为矩形 $A D C F$ 面积一半的平行四边形．

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20. 如图，在两个等腰直角 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 中， $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ，点M为 $A E$ 中点，点N为 $B D$ 中点．

(1)、观察猜想：
如图1，点E在 $B C$ 上，线段 $C M$ 与 $C N$ 的数量关系是______，位置关系是______；

(2)、探究证明：
把 $△ C D E$ 绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

(3)、拓展延伸：
把 $△ C D E$ 绕点C在平面内自由旋转，若 $A C = 13$ ， $D E = 10$ ，当A、D、E三点处于同一条直线上时，请直接写出AM的长．

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21. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：

从正方形的一个顶点引出夹角为 $45 °$ 的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如：

如图1，在正方形 $A B C D$ 中，以 $A$ 为顶点的 $∠ E A F = 45 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 与 $B C$ 、 $C D$ 边分别交于 $E$ 、 $F$ 两点．易证得： $E F = B E + F D$ ．

大致证明思路：如图2，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B H$ ，由 $∠ H B E = 180 °$ 可得 $H$ 、 $B$ 、 $E$ 三点共线， $∠ H A E = ∠ E A F = 45 °$ ，进而可证明 $△ A E H ≌ △ A E F$ ，故 $E F = B E + D F$ ．

任务：

如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $∠ B A D = 120 °$ ，以 $A$ 为顶点的 $∠ E A F = 60 °$ ， $A E$ 、 $A F$ 与 $B C$ 、 $C D$ 边分别交于 $E$ 、 $F$ 两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 $E F = B E + D F$ 是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

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22.

(1)、【阅读发现】
如图1，在正方形ABCD的外侧作等边三角形.ABE和等边三角形ADF，连结ED与FC相交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知DE=FC，并可求得∠DMC=°.

(2)、【拓展应用】
如图2，在矩形ABCD(AB>BC)的外侧作等边三角形ABE和等边三角形ADF，连结ED与FC相交于点M.
求证：DE=FC.

(3)、若∠ADE=20°，求∠DMC的度数.

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23. 【模型建立】
（1）如图1，已知 $△ A B E$ 和 $△ B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C$ ， $C D ⊥ B D$ ， $A E ⊥ B D$ ．用等式写出线段 $A E$ ， $D E$ ， $C D$ 的数量关系，并说明理由．
【模型应用】
（2）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在对角线 $B D$ 和边 $C D$ 上， $A E ⊥ E F$ ， $A E = E F$ ．用等式写出线段 $B E$ ， $A D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．
【模型迁移】
（3）如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点E在对角线 $B D$ 上，点F在边 $C D$ 的延长线上， $A E ⊥ E F$ ， $A E = E F$ ．用等式写出线段 $B E$ ， $A D$ ， $D F$ 的数量关系，并说明理由．

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北师大版数学九（上）第一章 特殊平行四边形 单元测试培优卷

一、选择题（每题5分，共50分）

二、填空题（每题5分，共25分）

三、解答题（共8题，共75分）

北师大版数学九（上）第一章特殊平行四边形单元测试培优卷