北师大版数学九（上）第一章特殊平行四边形单元测试基础卷

试卷更新日期：2025-10-07 类型：单元试卷

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一、选择题（每题5分，共50分）

1. 下列说法正确的是（）

A、菱形的四个内角都是直角 B、矩形的对角线互相垂直 C、正方形的每一条对角线平分一组对角 D、平行四边形是轴对称图形

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2. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $O A ⊥ O B$ B、 $∠ B A C = ∠ A C B$ C、 $O A = O B$ D、 $A D = A B$

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3. 已知四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，下列结论正确的有（）
①当 $A B = D C$ 时，它是菱形；② $A C ⊥ B D$ 时，它是菱形；③当 $∠ A B C = 90 °$ 时，它是矩形；④当 $A C = B D$ 时，它是正方形．

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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4. 如图，在一个对边平行的纸条上有两点A ， B及线段AB的中点O ，以下操作和判断不正确的是（　　）

A、过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C ， D ，得到平行四边形ACBD B、过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C ， D ，得到菱形ACBD C、分别过点A ， B作对边的垂线，交对边于点C ， D ，得到矩形ACBD D、在点A ， B所在边的对边分别取C ， D两点，使得AC=BD ，得到平行四边形ACBD

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5. 如图，直线 $a ∥ b$ ，矩形 $A B C D$ 的顶点A在直线b上，若 $∠ 2 = 41 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $41 °$ B、 $51 °$ C、 $49 °$ D、 $59 °$

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，若 $A O = 3$ ，则 $B D$ 的长为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，延长 $B C$ 到点E，使 $C E = A C$ ，连结 $A E$ 交 $C D$ 于点F，则 $∠ A F C$ 等于（）度．

A、112.5 B、125 C、135 D、150

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8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E，F分别为边 $A B, B C$ 的中点，连接 $A F, D E$ ，点G，H分别为 $D E, A F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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9. 如图，正方形 ABCD 中，已知 $A B = 6 \sqrt{2}$ ，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 为射线 OB 上的一个动点（不与点 B 重合），点 M 为线段 ED 的中点. 现将线段 OM 绕点 M 顺时针旋转 $9 0^{°}$ 得到线段 MF，连结 AE， EF， AF， OF. 在点 E 的运动过程中，当 $A E = 2 O F$ 时，则线段 BE 的长为（）

A、 $6 \sqrt{3} - 6$ B、 $3 \sqrt{3} - 3$ C、 $6 \sqrt{3} - 6$ 或 $6 \sqrt{3} + 6$ D、 $3 \sqrt{3} - 3$ 或 $3 \sqrt{3} + 3$

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二、填空题（每题5分，共25分）

10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 $(- 4, 0)$ ，点C的坐标为 $(0, 2)$ ．以 $O A ， O C$ 为边作矩形 $O A B C$ ，若将矩形 $O A B C$ 绕点O顺时针旋转 $90 °$ ，得到矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为．

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点O为对角线 $A C, B D$ 的交点，且在 $△ A O B$ 内， $O A = 12$ ， $O B = 5$ ，则菱形 $A B C D$ 两对边的距离 $h =$ ．

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12. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 内部，且 $△ A B E$ 是等边三角形，连接 $B D$ 、 $D E$ ，则 $∠ B D E =$ $°$ ．

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $B C = 10$ ，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，交边 $B C$ 于点E，连接 $E O$ ，则 $E O =$ ．

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 中，点E在边 $A B$ 上，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $D E$ 折叠，点A恰好落在边 $B C$ 的点F处．若 $A E = 3$ ， $B E = 2$ ，则 $C F$ 的长是．

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三、解答题（共8题，共75分）

15. 如图， $▱ A B C D$ 的对角线AC、BD相交于点O ， $B E ∥ A C, A E ∥ B D$ ， OE与AB交于点F ．

(1)、在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件： ▲ ，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；

(2)、若 $A C ⊥ B D, O E = 10, A C = 16$ ，求 $▱ A B C D$ 的面积．

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16. 如图所示，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE＝CF ，连接EF ， BF ， EF与对角线AC交于点O ，且BE＝BF ， ∠BEF＝2∠BAC ．

(1)、求证：OE＝OF；

(2)、若BC＝2 ，求AB的长．

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17. 如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{°}$ ， E为CA延长线上一点，D为AB上一点，F为 $Δ ABC$ 外一点且 $AC = AE = AF = AD = 1, EF / / AB$ 连接DF，BF.
(1)当 $∠ CAB$ 的度数是多少时，四边形ADFE为菱形，请说明理由：
(2)当AB= 时，四边形ACBF为正方形(请直接写出)

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18. 已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，请你判断BE与CF的大小关系，并说明你的理由．

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19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，我们把每个小正方形的顶点叫做格点．如：线段AB的两个端点都在格点上．
（1）在图1中画一个以AB为边的平行四边形ABCD，点C、D在格点上，且平行四边形ABCD的面积为15；
（2）在图2中画一个以AB为边的菱形ABEF（不是正方形），点E、F在格点上，则菱形ABEF的对角线AE＝________，BF＝________；
（3）在图3中画一个以AB为边的矩形ABMN（不是正方形），点M、N在格点上，则矩形ABMN的长宽比 $\frac{AN}{AB}$ ＝______．

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20. 已知：如图，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一点， $A B = 12$ ， $B E = 5$ ， $△ A B E$ 逆时针旋转后能够与 $△ A D F$ 重合．．

(1)、旋转中心是_________，旋转角为_________度；

(2)、请你判断 $△ A E F$ 的形状，并说明理由．

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21. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中， $△ O A B$ 是等腰直角三角形，斜边 $O B$ 在x轴上，且点B的坐标是 $(2, 0)$ ，直线 $y = k x + \frac{3}{2}$ 经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以 $A D$ 为边在第一象限内作正方形 $A D E F$ ．

(1)、求点A的坐标和k的值；

(2)、求直线 $E F$ 所对应的函数关系式．

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22. 【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $B C, C D$ 上，连接 $A E, A F, E F$ ．若 $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到 $△ A B G$ ．易证： $△ A E F ≌ △ A E G$ ．
（1）根据以上信息，填空：
① $∠ E A G =$ _______°；
②线段 $B E 、 E F 、 D F$ 之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，若点 $E$ 在射线 $C B$ 上，点 $F$ 在射线 $D C$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，猜想线段 $B E 、 E F 、 D F$ 之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3 \sqrt{2}, ∠ E A F = 45 °$ ，连接 $B D$ 分别交 $A E 、 A F$ 于点 $M 、 N$ ，若点 $M$ 恰好为线段 $B D$ 的三等分点，且 $B M < D M$ ，求线段 $M N$ 的长．

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北师大版数学九（上）第一章 特殊平行四边形单元测试基础卷

一、选择题（每题5分，共50分）

二、填空题（每题5分，共25分）

三、解答题（共8题，共75分）

北师大版数学九（上）第一章特殊平行四边形单元测试基础卷