第五章《直角三角形》提升卷—湘教版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-10-05 类型：单元试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

1. 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（　　）

A、AC=A′C′，∠B=∠B′ B、∠A=∠A′，∠B=∠B′ C、AB=A′B′，AC=A′C′ D、AB=A′B′，∠A=∠A′

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2. 直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的钝角的度数为（）

A、 $9 0^{°}$ B、 $13 5^{°}$ C、 $12 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$ 或 $13 5^{°}$

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3. △ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（）

A、42 B、32 C、42或32 D、42或37

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4. 如图，已知 $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $P E = 4$ ， $P D ⊥ O A$ 于点D， $P E ⊥ O B$ 于点E．如果点M是 $O P$ 的中点，则 $D M$ 的长是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， ∠ C = 90 ° ， B C = 4 ， △ D B E ≌ △ A B C$ ，且 $B 、 C 、 D$ 三点共线，点 $F$ 是线段 $A B$ 上任意一点，连接 $D F 、 E F$ ，则 $D F + E F$ 的最小值为（）

A、8 B、10 C、12 D、16

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6. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ ．连接 $E G$ ， $B D$ 相交于点O、 $B D$ 与 $H C$ 相交于点P．若 $G O = G P$ ，则 $\frac{B D}{B P}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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7. 如图，在A村与 $B$ 村之间有一座大山，原来从A村到 $B$ 村，需沿道路 $A \to C \to B$ （ $∠ C = 90 °$ ）绕过村庄间的大山，打通A ， $B$ 间的隧道后，就可直接从A村到 $B$ 村．已知 $A C = 6 k m$ ， $B C = 8 k m$ ，那么打通隧道后从A村到 $B$ 村比原来减少的路程为（）

A、 $2 k m$ B、 $3 k m$ C、 $4 k m$ D、 $5 k m$

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8. 如图， $Rt △ A B C$ ， $∠ A = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 沿 $D E$ 翻折，使得点C与点B重合．若 $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，则折痕 $D E$ 的长为（）

A、4 B、 $\frac{15}{4}$ C、5 D、 $\frac{25}{4}$

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9. 某同学类比勾股定理的证明过程，利用三个含有 $150 °$ 的全等三角形纸片（如图① $∠ A C B = 150 °$ ）拼成一个正三角形 $D E F$ （如图②），即 $△ A B C ≌ △ D E G ≌ △ E F M ≌ △ F D N$ ．连接 $G M$ ， $M N$ ， $N G$ ，若 $M N$ 长是2， $△ D E F$ 的面积是 $7 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{5} \sqrt{3}$ D、 $\frac{5}{6} \sqrt{3}$

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $P A$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $P$ ，作 $P R ⊥ A B$ ， $P S ⊥ A C$ ，垂足分别为 $R$ 、 $S$ ，若 $A Q = P Q$ ，则下列四个结论：① $P R = P S$ ；② $A S = A R$ ；③ $Q P ∥ A R$ ；④ $△ B R P ≌ △ C S P$ ．其中结论正确的序号有（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

11. 如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为°.

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $C D$ 是高，若 $A D = 4$ ，则 $B D =$ ．

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13. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 9 0^{∘}$ ， E为对角线 $A C$ 的中点，连接 $B E$ ， $E D$ ， $B D$ ，若 $∠ B A D = 5 2^{∘}$ ，则 $∠ E B D =$ $°$ .

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14. 如图，在 $2 \times 3$ 的网格中， $∠ 1 + ∠ 2 =$ $°$ ．

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15. 如图，一架 $2.5$ 米长的梯子 $A B$ 斜靠在一竖直的墙 $A C$ 上，这时梯足 $B$ 到墙底端 $C$ 的距离为 $0.7$ 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 $0.4$ 米，那么梯足将外移米．

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16. 如图， $O$ 是直线 $B C$ 上一点， $∠ A O B = 30 °$ ， $P O$ 平分 $∠ A O C$ ， $P M / / B C$ 交 $A O$ 于点 $M$ ， $M P = 10 c m$ ， $P D ⊥ O C$ 于点 $D$ ，则 $P D =$ $c m$ ．

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, B C = 4, A H ⊥ B C$ 于点 $H, B M ⊥ A C$ 于点 $M$ ，并且点 $N$ 是 $A B$ 的中点， $△ H M N$ 的周长是 $\sqrt{10} + 2$ ，则 $A H$ 的长是。

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 75 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $A C = 6$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，过点 $D$ 作 $A C$ 的垂线，分别交射线 $B C$ ，线段 $A B$ 于点 $E$ ， $F$ ，连接 $C F$ ， $C F$ 恰好平分 $∠ A C B$ ，则线段 $B E$ 的长是．

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三、解答题：本题共8小题，共66分

19. 图①、图②、图③均为 $3 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，按下列要求作图：

(1)、在图①中画出 $△ A B C$ ，使三个顶点均在格点上且 $A C = A B, ∠ B A C = 90 °$ ；

(2)、在图②中画出 $△ A B D$ ，使三个顶点均在格点上且 $S_{△ A B D} = \frac{5}{2}$ ；

(3)、在图③中画出 $△ A B E$ ，使三个顶点均在格点上且 $A E = B E, ∠ A E B \neq 90 °$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 边上的高线， $C E$ 是 $A B$ 边上的中线， $D G ⊥ C E$ 于G， $C D = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $D E$ ．

(1)、求证： $C G = E G$ ；

(2)、已知 $B C = 13, C D ＝ 5$ ，求 $△ B E C$ 的面积．

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21. 如图，在

△ A B C

中，

A B = A C

，

D

、

E

、

F

分别是

B C

、

A B

、

A C

的中点，连结

D E

、

D F

，求证：

D E = D F

．

针对这道题，三位同学进行了如下讨论--

小胡：“需要利用全等证明．”

小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．”

小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”

请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．

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22. 拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．

(1)、学校C会受噪声影响吗？为什么？

(2)、若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于 $D$ ．

(1)、如图1， $∠ M D N$ 的两边分别与 $A B$ 、 $A C$ 相交于M、N两点，过D作 $D F ⊥ A C$ 于F， $D M = D N$ ，证明： $A M + A N = 2 A F$ ；

(2)、如图2，若 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A C = 9$ ， $∠ M D N = 120 °$ ， $N D ∥ A B$ ，求四边形 $A M D N$ 的周长．

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24. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ，点 $D$ 是边 $B C$ 的中点，以 $A D$ 为底边向上作等腰 $Δ A D H$ ，使得 $∠ A D H = ∠ C$ ， $D H$ 交 $A B$ 于点 $K$ ，

(1)、若 $∠ B = 20 °$ ，求 $∠ H$ 度数；

(2)、若 $H D = B C$ ．
①求证： $A D = 2 A C$ ；
②设 $A C = a$ ，求 $H K$ 的长（用含 $a$ 的代数式表示）．

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25. 赵爽在《周髀算经》中介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），并根据该图证明了勾股定理．弦图之美，美在简约而深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”．

(1)、“勾股定理”用文字叙述是__________________；

(2)、类比“赵爽弦图”构造出图2： $△ A B C$ 为等边三角形， $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ 围成的 $△ D E F$ 是等边三角形．点D、E、F分别是 $B E$ 、 $C F$ 、 $A D$ 的中点，若 $△ D E F$ 的面积为2，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、在长方形 $A B C D$ 内部嵌入了3个全等的“赵爽弦图”（如图3），其中点M、N、P、Q分别在长方形的边 $B C$ 、 $C D$ 、 $A B$ 、 $A D$ 上，当 $A B = 34$ ， $B C = 29$ 时，求小正方形的边 $P Q$ 的长度；

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26. 综合与实践：小嵊与小州两个同学在学习了“直角三角形全等的判定”后，对数学中重要的学习方法“构造法”，展开了课后探究．
【情景再现】
已知，如图1，在 $△ A C B$ 和 $△ A^{'} C^{'} B^{'}$ 中， $∠ C = ∠ C^{'} = 90 °$ ， $A B = A^{'} B^{'}$ ， $A C = A^{'} C^{'}$ ．
下面是用“构造法”证明两个直角三角形全等的部分过程．
证明：如图1，延长 $B C$ 至D，使 $C D = B^{'} C^{'}$ ，连接 $A D$ ．
因为 $A C = A^{'} C^{'}$ （已知）， $∠ A C D = 90 ° = ∠ C^{'}$ ，
所以 $△ A D C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'} (SAS)$
所以 $A D = A^{'} B^{'}$ （全等三角形的对应边相等）．
…
所以 $△ A B C ≌ △ A D C (SSS)$
所以 $△ A B C ≌ △ A^{'} B^{'} C^{'}$
【实践解决】

(1)、请结合“情景再现”的证明过程，把“…”的部分补充完整；

(2)、小嵊进行了如下的思考：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等腰直角三角形，且 $∠ A C B = ∠ D C E = 90 °$ ．连接 $A D$ ，若 $A C = 2$ ， $A D = 1$ ， $∠ D A C = 45 °$ ，求 $A E$ 的长；

(3)、小州结合“构造法“进行进一步探究：如图3， $△ M O N$ 是等腰直角三角形， $∠ M O N = 90 °$ ， P是 $△ M O N$ 外一点， $∠ M P O = 75 °$ ， $P O = 2$ ， $M P = 2 \sqrt{2}$ ，求线段 $N P$ 的长．

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