第五章《直角三角形》基础卷—湘教版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-10-05 类型：单元试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

1. 下列各组数中，不是勾股数的是（）

A、5，8，12 B、30，40，50 C、9，40，41 D、6，8，10

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2. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）

A、∠A+∠B＝∠C B、∠A-∠B＝∠C C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D、∠A＝∠B＝3∠C

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3. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ， $B E ⊥ A C$ ， $A D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，则 $∠ A F E$ 的度数是（）

A、 $60 °$ B、 $50 °$ C、 $40 °$ D、 $30 °$

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4. 如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距离地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量∠ABC=30°，则树原来的高度为 ( )

A、6m B、9m C、10m D、12m

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, B C = 2, A C = 1, B C$ 在数轴上，以点 $B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画弧，交数轴于点 $D$ ，则点 $D$ 表示的数是（）

A、 $2 - \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对边的长分别为a、b、c，若 $a^{2} = 2$ ， $b^{2} = 4$ ，那么 $c^{2}$ 的值是（）

A、2 B、6 C、20 D、36

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7. 如图，已知 $A B ⊥ B D ， C D ⊥ B D$ ，若用 “ $HL$ ”判定 $Rt △ A B D$ 和 $Rt △ C D B$ 全等，则需要添加的条件是（）

A、 $∠ B = ∠ D$ B、 $∠ A C B = ∠ C A D$ C、 $A B = C D$ D、 $A D = C B$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ，依据尺规作图痕迹，给出结论：① $∠ C D E = ∠ C A B$ ；结论② $A B + E C = A C$ ．下列判断正确的是（）

A、①②都正确 B、①正确，②错误 C、①错误，②正确 D、①②都错误

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9. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， $A C = 8$ ， $D C = \frac{1}{3} A D$ ， BD平分 $∠ A B C$ ，则点D到AB的距离等于( )

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，在 $3 \times 3$ 的正方形网格中，A，B，C，D是格点，则下列线段长度最长是（）

A、AB B、AD C、AC D、AE

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

11. 在Rt△ABC中，斜边上的中线CD=8，则斜边AB的长是

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是高， $∠ C = 30 °$ ，若 $B C = 4$ ，则 $B D =$ ．

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13. 如图，在5×5的正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，若 $△ A B C ≅ △ P C B,$ ，则点 P 与点重合.(填“D”“E”或“F”，且点D，E，F均为格点)

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14. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = ∠ D = 90^{\circ}$ ， $A C = C D = 12$ ， $B C = 13$ ，则点 $A$ ， $D$ 之间的距离为．

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15. 如图， $△ A B C$ 中， $B O$ 平分 $∠ A B C$ ， $CO$ 平分 $∠ A C B$ ，过点O作 $M N ∥ B C$ 交 $A B$ 于点M交 $A C$ 于点N，若 $△ A N M$ 周长为15， $△ A B C$ 周长为24，则 $BC=$ ．

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16. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E，则AD的长为.

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17. 如图，将长方形纸片 $A B C D$ 沿其对角线 $A C$ 折叠，使点 $B$ 落在点 $B^{'}$ 的位置， $A B^{'}$ 与 $C D$ 交于点 $E$ ．若 $A B = 8 ， A D = 3$ ，求图中阴影部分的周长．

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三、解答题：本题共8小题，共66分

18. 如图，A，B，P是 $6 \times 6$ 方格纸中的格点．请按要求画以 $A B$ 为边的格点三角形（顶点在格点上）．

(1)、在图1中画一个直角三角形 $A B C$ ，使点P在 $△ A B C$ 的内部（不包括边界）．

(2)、在图2中画一个等腰三角形 $A B D$ ，使点P在 $△ A B D$ 一边的中垂线上．

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19. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E$ 为 $A C$ 上一点，且 $B D = A D$ ， $D F = D C$ ．猜想 $B F$ 与 $A C$ 的关系，并说明理由．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $E F$ 垂直平分 $A C$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ ，且 $A B = C E$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A E$ ．

(2)、若 $∠ B A E = 50 °$ ，求 $∠ C$ 的度数．

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21. “劳动基地”是培养学生劳动意识和创新精神的重要平台，某校在校园一角开辟了一块四边形的“劳动基地”，如图，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝6m ， BC＝8m ， CD＝24m ， AD＝26m ．

(1)、连接AC ，判断△ACD的形状并说明理由；

(2)、若在该基地上种植蔬菜，每平方米需要费用3元，试问种满这块基地共需费用多少元？

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22. 【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘察发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知，
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；
第二步，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度 $A B$ 为x米，通过计算请你求旗杆的高度．

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23. 在学习勾股定理时，我们学会运用图（Ⅰ）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为： ${(a + b)}^{2}$ ，也可表示为： $c^{2} + 4 \cdot (\frac{1}{2} a b)$ ，
即 ${(a + b)}^{2} = c^{2} + 4 (\frac{1}{2} a b)$ 由此推出勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．

(1)、请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；

(2)、请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证 ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ ；

(3)、请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证： $(x + p) (x + q) = x^{2} + p x + q x + p q = x^{2} + (p + q) x + p q$ ．

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24. 定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形．

(1)、概念理解：如图1．在 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 4$ ， $B D = 2$ ， $C D = \sqrt{21}$ ，说明 $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形．

(2)、问题探究：如图2， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF ，求证 $E F ⊥ A D$ ．

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 是共边直角三角形，且 $B D = C D$ ，连接AD ，求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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