第四章《三角形》提升卷—湘教版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-10-05 类型：单元试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $A C = 3$ ， D是BC边上的一点，若 $△ A B D$ 的周长比 $△ A C D$ 的周长大2，则AD是（）

A、 $△ A B C$ 的高 B、 $△ A B C$ 的角平分线 C、 $△ A B C$ 的中线 D、都有可能

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2. 已知△ABC 的三边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将 $△ A B C$ 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( ).

A、3条 B、4条 C、5条 D、6条

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3. 对于命题“若a²＞b² ，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（）

A、a=3，b=2 B、a=-3，b=2 C、a=3，b=-1 D、a=-1，b=3

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4. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（）

A、带①②去 B、带②③去 C、带③④去 D、带④去

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5. 如图，已知线段a ， h作等腰△ABC ，使AB＝AC ，且BC＝a ， BC边上的高AD＝h ．张红的作法如下：
$(1)$ 作线段BC＝a；
$(2)$ 作线段BC的垂直平分线MN ， MN与BC相交于点D；
$(3)$ 在直线MN上截取线段h；
$(4)$ 连结AB ， AC ，则△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）

A、 $(1)$ B、 $(2)$ C、 $(3)$ D、 $(4)$

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6. 如图，已知在△ABC中，∠BAC=50°，∠ACB=54°，敏敏通过尺规作图得到AM，DN交于点O，连接OC，根据其作图痕迹，可得∠OCB 的度数为（ )

A、25° B、27° C、29° D、31°

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7. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处， $O A$ 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 $1 m$ 高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到 $O A$ 的水平距离 $B D$ 、 $C E$ 分别为 $1.4 m$ 和 $1.9 m$ ， $∠ B O C = 90 °$ ．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（）

A、 $1 m$ B、 $1.5 m$ C、 $1.6 m$ D、 $1.9 m$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ 的平分线交于点D，过点D作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点E，交 $A C$ 于点F．若 $A B = 12$ ， $A C = 8$ ， $B C = 14$ ，则 $△ A E F$ 的周长是（）

A、17 B、20 C、22 D、26

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9. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ， $C D ⊥ A B$ 于 $D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $B E ⊥ A C$ 于 $E$ ，与 $C D$ 相交于点 $F$ ， $H$ 是 $B C$ 边的中点，连接 $D H$ 与 $B E$ 相交于点 $G$ ，下列结论：① $∠ A = 67.5 °$ ；② $A E = \frac{1}{2} B F$ ；③ $△ D G F$ 是等腰三角形；④ $S_{四边形 A D G E} = S_{四边形 G H C E}$ ．
正确的是（）．

A、①②③ B、①②④ C、③④ D、①②③④

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

10. 命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）

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11. 三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 .

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12. 如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画个三角形．

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13. 一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件（填“合格”或“不合格”）.

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14. 已知 $△ A B C$ 的周长为 $16, A B = 6$ ，当 $A C$ 的值为时， $△ A B C$ 是等腰三角形．

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15. 小明同学将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件是．

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16. 如图，∠A＝52°，O是AB，AC的垂直平分线的交点，则∠OCB＝．

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17. 如图是折叠式沙发椅的示意图，若将度数调到图上所示度数为最舒适角度，求此时 $∠ E F D =$ ．

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三、解答题：本题共8小题，共66分

18. 如图， $△ A B C$ 为等边三角形，在 $∠ B A C$ 内作射线 $A P (∠ B A P < 30 °)$ ，点B关于射线 $A P$ 的对称点为点D，连接 $A D$ ，作射线 $C D$ 交 $A P$ 于点E，连接 $B E$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、设 $∠ B A P = α$ ，求 $∠ B C E$ 的大小（用含 $α$ 的代数式表示）；

(3)、用等式表示 $E A$ ， $E B$ ， $E C$ 之间的数量关系，并证明．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 40 °$ ， $∠ C = 50 °$ .
①分别以点A、B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与 $B C$ 交于点D，与 $A B$ 交于点F，连结 $A D$ ；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与 $A D$ 、 $A C$ 交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连结点A与这一点交 $B C$ 于点E.

(1)、通过以上作图，可以发现直线 $D F$ 是，射线 $A E$ 是；（在横线上填上合适的选项）
A.线段 $A B$ 的垂直平分线 B. $∠ A D B$ 的角平分线
C. $△ A C D$ 的中线 D. $∠ D A C$ 的角平分线

(2)、在（1）所作的图中，求 $∠ D A E$ 的度数.

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20. （1）如图①，在 $△ A B C$ 中，若 $A B = 6$ ， $A C = 4$ ， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，求 $A D$ 的取值范围；
（2）如图②，在 $△ A B C$ 中，点D是 $B C$ 的中点， $D E ⊥ D F$ ， $D E$ 交 $A B$ 于点E， $D F$ 交 $A C$ 于点F，连接 $E F$ ，判断 $B E + C F$ 与 $E F$ 的大小关系并证明；
（3）如图③，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A F$ 与 $D C$ 的延长线交于点F，点E是 $B C$ 的中点，若 $A E$ 是 $∠ B A F$ 的角平分线．试探究线段 $A B$ ， $A F$ ， $C F$ 之间的数量关系，并加以证明．

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21. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：
如图9-①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C，求证：AC=AB+BD；
小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法一：如图9-②，在AC上截取AE，使得AE=AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题；
方法二：如图9-③，延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题.

(1)、根据以上材料，任选一种方法证明：AC=AB+BD；

(2)、如图9-④，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，
∠C=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC，CE，BE之间的数量关系，并证明.

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22. 如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究.请你帮助他们完成下列问题：

(1)、如图②，小组成员在三角形薄板ABC 上画出中线AD，可以得到 $S_{△ A B D}$ $S_{△ A C D}$ （填“>”“=”或“<”）；

(2)、如图③，三角形薄板ABC的三条中线AD，CE，BF相交于点O，试判断三角形薄板ABC 被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由；

(3)、结合（2）中的结论，试猜想AO：OD，BO：OF，CO：OE 的值，并说明理由.

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23. 在四边形 $A B C D$ 中， $A B = B C = C D$ ， $∠ B C D = 60 °$ ， $∠ A B C = α (60 ° < α < 180 °)$ ， E为 $A D$ 中点，连接 $A C$ ， $B E$ 交于点F．

(1)、当 $α = 100 °$ 时， $∠ B A C =$ ______， $∠ A B F =$ _____；

(2)、当 $α$ 的大小改变时， $∠ B F C$ 的度数是否发生改变？若变化，求 $∠ B F C$ 的变化范围，若不变，求 $∠ B F C$ 的度数；

(3)、猜想 $A F, B F, C F$ 之间的数量关系，并说明理由；

(4)、若 $S_{△ A B F} : S_{△ C B F} = 3 : 8$ ，则 $\frac{E F}{B F} =$ _______．

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24. 数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

(1)、发现问题：如图1，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 30 °$ ，连接 $B E ， C F$ ，延长 $B E$ 交 $C F$ 于点D．则 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系：， $∠ B D C =$ $°$ ；

(2)、类比探究：如图2，在 $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 中， $A B = A C$ ， $A E = A F$ ， $∠ B A C = ∠ E A F = 120 °$ ，连接 $B E ， C F$ ，延长 $B E$ 交 $C F$ 于点D．请猜想 $B E$ 与 $C F$ 的数量关系及 $∠ B D C$ 的度数，并说明理由；

(3)、拓展延伸：如图3， $△ A B C$ 和 $△ A E F$ 均为等腰直角三角形， $∠ B A C = ∠ E A F = 90 °$ ，连接 $B E ， C F$ ，且点B，E，F在一条直线上，过点A作 $A M ⊥ B F$ ，垂足为点M．请猜想 $B F ， C F ， A M$ 之间的数量关系并说明理由．

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