第四章《三角形》基础卷—湘教版数学八（上）单元分层测

试卷更新日期：2025-10-05 类型：单元试卷

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分

1. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们首尾相连能摆成三角形的是( )

A、 $\sqrt{2}$ ， 5，7 B、3，4，8 C、1， $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{3}$ D、5，5，10

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2. 下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列选项中可以用来说明命题“若x²＞1，则x＞1”是假命题的反例是（）

A、x＝1 B、x＝-1 C、x＝2 D、x＝-2

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4. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）

A、有一个内角大于60° B、有一个内角小于60° C、每一个内角都大于60° D、每一个内角都小于60°

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5. 如图，若 $A B = A C$ ，则添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B E ≅ △ A C D$ 的是（）

A、 $∠ B = ∠ C$ B、 $A E = A D$ C、 $B E = C D$ D、 $∠ A E B = ∠ A D C$

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6. 某大学生利用手机看球赛期间，把手机放在一个支架上面，如图，此手机能稳稳放在支架上利用的原理是（）

A、对称性 B、三角形的内角和为180° C、两点确定一条直线 D、三角形具有稳定性

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7. 在下列各题中，属于尺规作图的是（）

A、用直尺画一工件边缘的垂线 B、用直尺和三角板画平行线 C、利用三角板画 $45 °$ 的角 D、用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段

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8. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是 $△ A B C$ 的三边，且满足 $a^{2} - b^{2} = c (b - a)$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等边三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ A = 5 2^{°}$ ，点 $P$ 是边AB上的一个动点，则 $∠ A P C$ 的度数可能是（）

A、 $5 2^{°}$ B、 $6 3^{°}$ C、 $12 0^{°}$ D、 $13 0^{°}$

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二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分

10. 请将命题"等腰三角形的底角相等"改写为"如果……,那么……"的形式：
.

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11. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是命题（填“真”或“假”）

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12. 等腰三角形的一个角等于 $40 °$ ，则它的顶角的度数是．

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13. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了 $∠ C O^{'} D = ∠ A O B$ ．则 $△ O E F ≌ △ O^{'} N M$ 的理由是．

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14. 如图，点C 是AE的中点，∠A=∠DCE，要使△ABC≌△CDE，则需要添加的条件可以是.(写出一个即可，不添加辅助线)

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15. 如图，是等腰三角形屋架设计图的一部分，工人师傅在焊接立柱时，只需找到 BC 的中点就可以确定竖梁 AD 垂直横梁 BC，这种操作方法的依据是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，边AC的垂直平分线交AC于点 $E$ ，交BC于点 $D$ ，若 $A B = 6, △ A B D$ 的周长为18，则BC的长为.

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17. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=60°，D 是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为

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三、解答题：本题共8小题，共66分

18. 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 8 0^{∘}$ ， $∠ B = 6 0^{∘}$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $∠ A C B$ 的平分线 $C F$ 交 $A D$ 于点 $E$ ．求 $∠ A E C$ 的度数．

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20. 如图，已知 $∠ B A E = ∠ C A F = 90 °$ ， $E C$ ， $B F$ 相交于点 $M$ ， $A E = A B$ ， $A C = A F$ ．

(1)、求证： $E C = B F$ ．

(2)、求证： $E C ⊥ B F$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，AD为中线，过点B作 $B E ⟂ A D$ 于点E，过点C作 $C F ⟂ A D$ 交AD的延长线于点 F.

(1)、求证：BE=CF；

(2)、若 $△ A B E$ 的面积为7， $△ B D E$ 的面积为2，求 $△ A C F$ 的面积.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是 $B C$ 边上的中点，连接 $A D$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ．

(1)、若 $∠ C = 36 °$ ，求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、求证： $F B = F E$ ．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， AB的垂直平分线DE交AB于点D ，交BC于点E ，连接AE ．

(1)、求证：AE是∠BAC的角平分线：

(2)、若 $D E = 2$ ，求BC的长．

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24. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD之间的数量关系．小明发现，在BC上截取CA′＝CA，连接DA′，从而将问题解决（如图2）．

(1)、求证：△ADC≌△A′DC；

(2)、试猜想写出BC和AC、AD之间的数量关系，并给出证明．

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25. 小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点 $O$ 处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图， $A$ 表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从 $A$ 摆到 $B$ 位置，此时过点 $B$ 作 $B D ⊥ O A$ 于点 $D$ ，当小球摆到 $C$ 位置时，过点 $C$ 作 $C E ⊥ O A$ 于点 $E$ ，测得 $O C = 20 c m, B D = O E = 9 c m$ （图中的点 $A, B, O, C$ 在同一平面内）．

(1)、猜想此时 $O B$ 与 $O C$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、求 $A E$ 的长．

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