人教版九（上）第二十一章一元二次方程单元测试培优卷

试卷更新日期：2025-09-30 类型：单元试卷

进入出卷网下载

一、选择题

1. 把方程 $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + m)}^{2} = n$ 的形式，则 $m + n =$ （　　）

A、17 B、14 C、11 D、7

查看试题解析
2. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

查看试题解析
3. 在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（）

A、x²=10²+（x-5-1）² B、x²＝（x﹣5）²+10² C、x²＝10²+（x+1-5）² D、x²＝（x+1）²+10²

查看试题解析
4. 若α，β是方程x²﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α²+β²的值为（　　）

A、10 B、9 C、7 D、5

查看试题解析
5. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为 $175$ 亿元，若设平均每月的增长率为 $x$ ，根据题意可列方程（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ B、 $50 + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$

查看试题解析
6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} + 2 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $k > - \frac{1}{2}$ B、 $k < - \frac{1}{2}$ C、 $k \geq - \frac{1}{2}$ D、 $k \leq - \frac{1}{2}$

查看试题解析
7. 如图，在长为 $100 m$ ，宽为 $50 m$ 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 $3600 m^{2}$ ，则小路的宽是（）

A、 $5 m$ B、 $70 m$ C、 $5 m$ 或 $70 m$ D、 $10 m$

查看试题解析
8. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E是边 $A D$ 中点，F是边 $A B$ 上一动点，G是 $E F$ 延长线上一点，且 $G F = E F$ ．若 $A D = 4$ ，则 $E G^{2} + C G^{2}$ 的最小值为（　　）

A、 $52$ B、 $60$ C、 $68$ D、 $76$

查看试题解析
9. 关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x - 3 m - 3 = 0$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 范围内有且只有一个根，则m的取值范围为（）

A、 $m > - \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 - 4 \sqrt{3}$ C、 $m < - \frac{3}{5}$ 或 $m \geq 5$ D、 $- \frac{3}{5} < m \leq 5$ 或 $m = - 8 + 4 \sqrt{3}$

查看试题解析
10. 已知x，y为实数，且满足 $x^{2} - x y + 4 y^{2} = 4$ ，记 $u = x^{2} + x y + 4 y^{2}$ 的最大值为M，最小值为m，则 $M + m =$ （）.

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{64}{15}$ C、 $\frac{136}{15}$ D、 $\frac{31}{5}$

查看试题解析

二、填空题

11. 一元二次方程3x（x-1）=x-1的解是.

查看试题解析
12. 已知 $α$ ， $β$ 是方程 $x^{2} - 2024 x - 1 = 0$ 的两个根，则 $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} =$ ．

查看试题解析
13. 如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m.

查看试题解析
14. 若 $m 、 n$ 是一元二次方程 $x^{2} - x - 3 = 0$ 的两个实数根，多项式 $2 n^{2} - m n + 2 m$ 的值是．

查看试题解析
15. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x - 3 m - 3 = 0$ 在 $- 2 \leq x \leq 2$ 范围内有且只有一个根，则 $m$ 的取值范围为．

查看试题解析

三、解答题

16. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 k x + k^{2} - k + 1 = 0$ 的两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $k < 4$ ，且 $k$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 都是整数，求 $k$ 的值．

查看试题解析
17. 如图，老李想用长为 $70 m$ 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 $A B C D$ ，并在边 $B C$ 上留一个 $2 m$ 宽的门（建在 $E F$ 处，另用其他材料）．

(1)、当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 $m^{2}$ 的羊圈？

(2)、羊圈的面积能达到 $650$ $m^{2}$ 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．

查看试题解析
18. 某水果商店销售一种进价为30元/千克的优质水果，若售价为40元/千克，则一个月可售出400千克．若售价在40元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．

(1)、当售价为45元/千克时，每月销售水果______千克；

(2)、当每月利润为5250元时，这种水果的售价为多少？

(3)、当这种水果的售价定为多少时，获得的月利润最大？最大利润是多少元？

查看试题解析
19. 2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
价格
A款钥匙扣
B款钥匙扣
进货价（元/件）
30
25
销售价（元/件）
45
37

(1)、网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；

(2)、第一次购进的冰墩墩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？

(3)、冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元？

查看试题解析
20. 如图，平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，直线 $y = k x + 15 (k \neq 0)$ 经过点 $C (- 3, 6)$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ．线段 $C D$ 平行于 $x$ 轴，交直线 $y = - \frac{3}{4} x$ 于点 $D$ ，连接 $O C$ ， $A D$ ．

(1)、填空： $k =$ ______，点 $A$ 的坐标是______；

(2)、求证：四边形 $O A D C$ 是平行四边形；

(3)、动点 $P$ 从点 $O$ 出发，沿对角线 $O D$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $D$ 运动，直到点 $D$ 为止；动点 $Q$ 同时从点 $D$ 出发，沿对角线 $O D$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度向点 $O$ 运动，直到点 $O$ 为止．设两个点的运动时间均为 $t$ 秒．
$①$ 当 $t = 2$ 时，求 $△ C P Q$ 的面积；
$②$ 当点 $P$ ， $Q$ 运动至四边形 $C P A Q$ 为矩形时，请求出此时 $t$ 的值．

查看试题解析
21. 阅读下列材料：
解方程： $x^{2} - |x - 1| - 1 = 0$ ．
解：①当 $x - 1 \geq 0$ ，即 $x \geq 1$ 时， $x^{2} - (x - 1) - 1 = 0$ ．即 $x^{2} - x = 0$ ，解得 $x_{1} = 0$ （不合题意，舍去）， $x_{2} = 1$ ；
②当 $x - 1 < 0$ ，即 $x < 1$ 时， $x^{2} + (x - 1) - 1 = 0$ ．即 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，解得 $x_{1} = 1$ （不合题意，舍去）， $x_{2} = - 2$ ；
综上所述，原方程的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 2$ ．
仿照上边例题的解法，解方程： $x^{2} + 2 |x + 2| - 4 = 0$ ．

查看试题解析
22. 综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为 $100 c m$ ，宽为 $40 c m$ 的长方形硬纸板做收纳盒．
【任务要求】
任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1．
任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒， $E F$ 和 $H G$ 两边恰好重合且无重叠部分．如图2．
【问题解决】

(1)、若任务一中设计的收纳盒的底面积为 $1600 {c m}^{2}$ ，剪去的小正方形的边长为多少 $c m$ ？

(2)、若任务二中设计的该收纳盒的底面积为 $608 {c m}^{2}$ ．
①该收纳盒的高是多少 ${c m}^{2}$ ？
②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．

查看试题解析

人教版九（上）第二十一章 一元二次方程 单元测试培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

人教版九（上）第二十一章一元二次方程单元测试培优卷