人教版九（上）第二十二章二次函数单元检测培优卷

试卷更新日期：2025-09-30 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 抛物线 $y = x^{2} - 2 x + 1$ 的对称轴是直线（）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = - 3$ D、 $x = 3$

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2. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）

A、 $a b c > 0$ B、 $b < a + c$ C、 $2 a + b < 0$ D、 $b^{2} - 4 a c < 0$

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3. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为 $y = - \frac{1}{16} x^{2}$ ，正常水位时，水面宽 AB 为 16m，此时拱顶 O 到水面 AB 的距离为（）

A、4m B、3m C、2m D、1m

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4. 已知二次函数的图象 $(- 0.7 \leq x \leq 2)$ 如下图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法中正确的是（）

A、有最小值0，有最大值2 B、有最小值-1，有最大值0 C、有最小值-1，有最大值2 D、有最小值-1，无最大值

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5. 已知A（4，y₁），B（1，y₂），C（﹣3，y₃）在函数y＝﹣3（x﹣2）²+m（m为常数）的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{3}$ ＜ $y_{1}$ ＜ $y_{2}$ B、 $y_{1}$ ＜ $y_{3}$ ＜ $y_{2}$ C、 $y_{3}$ ＜ $y_{2}$ ＜ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ ＜ $y_{2}$ ＜ $y_{3}$

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6. 在同一坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x$ 与一次函数 $y = b x - a$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴的交点在 $(0, - 2)$ 和 $(0, - 1)$ 之间（不包括这两点），对称轴为直线 $x = 1$ ，下列结论：① $4 a + 2 b + c > 0$ ；② $4 a c - b^{2} < 8 a$ ；③ $\frac{1}{3} < a < \frac{2}{3}$ ；④ $b > c$ ；其中正确结论的个数有（　　）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴是 $x = 1$ ．下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c > 0$ ；③ $8 a + c < 0$ ；④ $5 a + b + 2 c > 0$ ，正确的有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 $(- 1, 0)$ ，对称轴为直线 $x = 2$ ．对于下列结论：① $a b c < 0$ ；② $a + c = b$ ；③多项式 $a x^{2} + b x + c$ 可因式分解为 $(x + 1) (x - 5)$ ；④当 $m > - 9 a$ 时，关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = m$ 无实数根．其中正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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10. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数，则 $a + b \leq m (a m + b)$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ．其中正确的个数是（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{7}{2}$ 与 y 轴交点的坐标为，与 x 轴交点的坐标为

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12. 二次函数 $y = a x^{2} + (a + 1) x - 2 a - 1 (a \neq 0)$ ，当 $1 < x < 3$ 时，对于每一个 x 的值， $y < x$ 始终成立，则 a 的取值范围是.

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13. 小徐在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 $y = - \frac{1}{10} x^{2} + \frac{4}{5} x + 2$ ，则小徐此次的实心球成绩为米．

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14. 已知二次函数 $y = x^{2} - (m + 2) x + 2 m + 3$ 的值恒大于0，则m的取值范围是.

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15. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，顶点为 $C$ ，点 $P$ 为抛物线上，且位于 $x$ 轴下方，直线 $P A$ ， $P B$ 与 $y$ 轴分别交于 $E$ ， $F$ 两点，当点 $P$ 运动时， $\frac{O E + O F}{O C} =$ ．

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三、解答题

16. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图象经过点(-1， 8)，(2， -1)。

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、求这个图象的顶点坐标和对称轴.

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17. 某学校计划建一个长方形种植园，如图，种植园的一边靠墙，其余边用总长为24m的篱笆围成，已知墙a长为10m，设这个种植园垂直于墙的一边长为x(m)，种植园面积为 $y (m^{2})$ .

(1)、求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)、根据实际需要，要求这个种植园的面积为 $45 m^{2}$ ，求篱笆AB的长.

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18. 如图，抛物线 $y_{1} = - 2 x^{2} + 1$ 和直线 $y_{2} = x$ 交于 A，B 两点.

(1)、求 A，B 两点的坐标；

(2)、根据图象，写出当 x 取何值时， $y_{1} > y_{2}$ .

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19. 已知二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ （ $b, c$ 为常数）的图象经过点 $A (- 1,3)$ 和 $B (1,5)$ ．

(1)、求二次函数的表达式及顶点坐标；

(2)、当 $y \geq 3$ 时，请根据图象直接写出 $x$ 的取值范围．

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20. 根据背景素材，探索解决问题．

素材1	电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
素材2	若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个．
问题解决
任务1	为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________．
任务2	若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示）
任务3	当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．

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21. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $P$ ， $Q$ 分别是边 $A B$ ， $B C$ 上的动点（不与端点重合），且 $B Q = A P$ ；点 $R$ ， $S$ 分别是边 $C D$ ， $D A$ 上的点， $C R = 1$ ， $D S = 2$ ，设 $A P$ 的长度为 $x$ ，四边形 $P Q R S$ 的面积为 $y$ ．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式及自变量的取值范围；

(2)、四边形 $P Q R S$ 的面积有没有最值？如果有，请说明是最大值还是最小值，并计算此时 $A P$ 长度，如果没有，请说明理由．

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22. 大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中 $A B$ ， $C D$ 为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为9米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面3.5米的墙体 $A$ 处，另一端固定在墙体 $D$ 处，骨架最高点 $P$ 到墙体 $A B$ 的水平距离为2米，且点 $P$ 离地面的高度为3.75米．
请尝试数学建模解决以下问题：

(1)、在图1中，以 $B$ 为原点，水平直线 $B C$ 为 $x$ 轴， $A B$ 所在直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为 $y$ （米），该处离墙体 $A B$ 的水平距离为 $x$ （米），求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段 $A E$ ， $F G$ 组成，其中点 $E$ ， $F$ 在顶棚抛物线形骨架上， $F G ∥ A B$ 交 $A E$ 于点 $G$ ．为不影响耕作，将点 $E$ 到地面的距离定为1.5米．求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．

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23. 在学习二次函数与一元二次方程时，从二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象可得如下结论．
如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴有公共点的横坐标是 $x_{0}$ ，那么当x＝ $x_{0}$ 时，函数值是0，因此 $x = x_{0}$ 是方程 $y = a x^{2} + b x + c$ 的一个根．
同学们，请你结合所学的数学知识解决下列问题

(1)、若二次函数 $y = x^{2} + (m - 3) x + 1 - 2 m$ （m为常数）与x轴两交点的横坐标为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{1} + x_{2} = 4$ ，求二次函数的解析式；

(2)、不论 m为何值，该函数的图象都会经过一个定点，求定点的坐标；

(3)、在（1）的条件下，当 $x = n$ ， $q$ 时，对应的函数值为N，Q，若 $| n - q | = 3$ 求证： $2 （ N ＋ Q ） \geq 5$

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二、填空题

三、解答题

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