浙江省永嘉中学2025-2026学年高三上学期九月数学教学质量检测试题

试卷更新日期：2025-09-24 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分，每题有且仅有一个正确选项符合题意

1. 已知一扇形的半径为3，周长为10，则该扇形的面积为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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2. 已知集合 $A = \{1 - i, \frac{1 - i}{1 + i}\}$ ， $B = \{i^{3} - i^{2}, \frac{1 + i}{1 - i}\}$ ，则集合 $C = A \cup B$ 中元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 根据变量 $Y$ 和 $x$ 的成对样本数据，由一元线性回归模型 $\{\begin{array}{l} Y = b x + a + e, \\ E (e) = 0, D (e) = σ^{2}, \end{array}$ 得到经验回归模型 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，对应的残差如图所示，则模型误差（）

A、满足一元线性回归模型的所有假设 B、只满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ 的假设 C、只满足一元线性回归模型的 $D (e) = σ^{2}$ 的假设 D、不满足一元线性回归模型的 $E (e) = 0$ ， $D (e) = σ^{2}$ 的假设

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4. 点 $M$ 是 $△ A B C$ 所在平面内一点，满足 $\vec{M B} + \frac{3}{2} \vec{M A} + \frac{3}{2} \vec{M C} = \vec{0}$ ，若 $D$ 为 $A C$ 中点，则 $\frac{S_{△ A B M}}{S_{△ B C D}}$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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5. 已知 $\sin θ + \cos θ = \sin θ \cos θ$ ，则角 $θ$ 所在的区间可能是（）

A、 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ C、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4})$ D、 $(π ， \frac{5 π}{4})$

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6. 在平面直角坐标系中有曲线 $C_{1} ： y = 2 + x^{2}$ 和 $C_{2} ： y = 2 x - 2 - x^{2}$ ，直线 $l_{1}$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于 $A, B$ ，直线 $l_{2}$ （不同于 $l_{1}$ ）与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 分别相切于点 $C, D$ ，则 $A B$ 与 $C D$ 交点的横坐标是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 在平面直角坐标系中，存在圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，点 $A (- \frac{1}{2}, 0)$ 和点 $B (0, \frac{1}{2})$ ， M为圆O上的动点，则下列说法中正确的是（）

A、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\sqrt{5}$ B、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 |M A| - |M B|$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $2 |M A| + |M B|$ 的最小值为 $\sqrt{17}$

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8. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，记函数 $f (x)$ 的反函数为 $f^{- 1} (x)$ ，设函数 $F (x) = f^{- 1} (x) - f (x)$ 的极值点个数为c；当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \cdot \sin x \geq k x$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, c]$ B、 $[- c, 0)$ C、 $(- \infty, - c]$ D、 $(0, c]$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分，每题至少有一个正确选项符合题意.

9. 随机事件A，B满足 $P (B) < P (A) < 1 ， P (A B) + P (A + B) = 1 ， P (\bar{A} B + \bar{B} A) = \sqrt{P^{2} (A) + P^{2} (B)} = \frac{5}{7}$ ，其中 $P (A) 和 P (B)$ 分别指事件A和B的概率，则下列说法中正确的是（）

A、 $P (A)$ = $\frac{3}{7}$ B、 $P (A B)$ = $\frac{1}{7}$ C、事件A与B不独立 D、 $P (B | A) = P (A + B)$

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10. 在平面直角坐标系中，曲线 $Γ$ 的方程为： $x^{2} y = x + y - y^{2}$ ，试判断下列说法中正确的是（）

A、曲线 $Γ$ 与直线： $y = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ 没有交点 B、存在垂直于x轴的直线与曲线 $Γ$ 没有交点 C、曲线 $Γ$ 与直线： $x + y + 3 = 0$ 有两个交点 D、曲线 $Γ$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = x + y$ 有三个交点

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11. （多选题）已知 $△ A B C$ 是由具有公共直角边的两块直角三角板（ $R t △ A C D$ 和 $R t △ B C D$ ）组成的三角形，如下图所示，其中 $∠ A C D = 45 °$ ， $∠ B C D = 60 °$ .现将 $R t △ A C D$ 沿斜边 $A C$ 进行翻折成 $△ D_{1} A C$ （ $D_{1}$ 不在平面 $A B C$ 上）.若 $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B D_{1}$ 的中点，则在 $△ A C D$ 翻折过程中，下列命题中正确的是（）

A、在线段 $B D$ 上存在一定点 $E$ ，使得 $A D_{1} / /$ 平面 $M N E$ B、存在某个位置，使得直线 $A D_{1} ⊥$ 平面 $B C D_{1}$ C、存在某个位置，使得直线 $A D_{1}$ 与 $D M$ 所成角为 $60 °$ D、对于任意位置，二面角 $D_{1} - B C - A$ 始终不小于直线 $A D_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分

12. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 焦点为 $F$ ，过 $F$ 向第一象限作射线 $F A$ ，过点 $A$ 作 $C$ 的切线 $l$ ，切点为 $B$ ，且 $∠ F A B = 135 °$ ，则点 $A$ 的轨迹是的一部分（选填：直线，圆，椭圆，抛物线，双曲线）.

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13. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ，有 $f (x + 1) - f (x - 1) \geq x$ 且 $f (x + 3) - f (x - 3) \leq 3 x$ .若 $f (1) = 1$ ，则 $f (49) =$ .

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14. 已知 $x, y, z \in N^{*}$ ，且 $x + y + z = 7$ ，记随机变量 $X$ 为 $x, y, z$ 中的最小值，则 $D (X) =$ .

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四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题一题15分，18，19题一题17分，共计77 分

15. 如图，棱长为 $3$ 的正方体的顶点 $A$ 在平面 $α$ 内，三条棱 $A B ， A C ， A D$ 都在平面 $α$ 的同侧.

(1)、若平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成的二面角为 $30^{\circ}$ ，求顶点 $D$ 到平面 $α$ 的距离的最大值；

(2)、若顶点 $B ， C$ 到平面 $α$ 的距离分别为 $\sqrt{2} ， \sqrt{3}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $α$ 所成锐二面角的余弦值.

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16. 已知 $△ A B C$ 满足三个条件：① $|A B| = 1$ ， ② $2 sin A = 2 sin B + cos 2 B$ ， ③________________.

(1)、若条件③是“ $△ A B C$ 是直角三角形”，求 $A$ ；

(2)、从下列选项中选择一个作为条件③，使满足条件的 $△ A B C$ 恰好有2个，并说明你的选择理由.
Ⅰ. $B = \frac{π}{5}$ ， Ⅱ. $B = \frac{2 π}{5} ，$ Ⅲ. $△ A B C$ 是等腰三角形.

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17. 在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的n个小球，将它们分别编号为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ ．每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后放回，直至取遍所有小球后立刻停止摸球．记总的摸球次数为 $X_{n}$ ，其期望为 $E (X_{n})$ ．

(1)、求 $P (X_{2} = 4)$ 与 $P (X_{3} = 5)$ ；

(2)、求 $E (X_{2})$ ；

(3)、证明： $E (X_{n}) > n \ln (n + 1)$ ．
附：①若随机变量 $X$ 的可能取值为 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n, \cdot \cdot \cdot$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{+ \infty} (k \cdot P (X = k)) = \lim_{n \to + \infty} \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot P (X = k))$
②若随机变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}$ ，则 $E (X) = \sum_{i = 1}^{n} E (ξ_{i})$ ．

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18. 平面直角坐标系中，点 $(\sqrt{6}, 1)$ 在以 $F_{1}, F_{2}$ 为左，右焦点的双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分.

(1)、求双曲线C的标准方程；

(2)、若不过 $F_{1}$ 的直线l与 $C$ 交于不同的两点 $A, B$ ；
（i）设l的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，若 $k$ 为直线 $A F_{1}, B F_{1}$ 斜率的等差中项，求 $F_{2}$ 到l的距离 $d$ 的取值范围；
（ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求 $\frac{|A D|}{|B D|}$ 的最大值.

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{sin x}{x} ， x \in (0 ， + \infty)$ .

(1)、设 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < 4 π$ ，曲线y= $x f (x)$ 在点 $（ x_{i} ， sin x_{i} ）$ （ $i = 1 ， 2 ， 3$ ）处切线均经过坐标原点.
（i）求 $\frac{tan x_{3} - x_{2}}{x_{3} - tan x_{2}}$ ；
（ii）求证： $tan x_{1} + tan x_{3} < 2 tan x_{2}$ ；

(2)、将 $f (x)$ 的极小值点从小到大排列，形成的数列记为 $\{x_{n}\} ， n \in N$ ，首项记为 $x_{0}$ .
（i）求证： $x_{n} \in (π + 2 n π ， \frac{3}{2} π + 2 n π) ， n \in N ，且 \{x_{n} - 2 n π\}$ 是单调递增数列；
（ii）求 $f (x)$ 的最小值.

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