人教版数学七年级上学期重难点复习4 ：几何图形初步

试卷更新日期：2025-09-28 类型：复习试卷

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一、立体图形与展开图

1. 下列几何体中，从上面观察得到的平面图形是三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“想”字的一面的相对面上的字是（）

A、青 B、春 C、点 D、亮

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3. 以下是圆柱展开图的是（）．

A、 B、 C、 D、

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4. 下列每个平面图形均由6个大小相同的小正方形组成，其中不能折叠成正方体的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图是正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、2

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7. 如图，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P 在OM 上，一只蚂蚁从点 P 出发绕圆锥侧面爬行，回到点 P 时所经过的最短路径的轨迹如下图.若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是( )

A、 B、 C、 D、

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二、线段、射线、直线、角的相关概念与作图

8. 下列语句准确规范的是（）

A、直线a，b相交于点m B、反向延长线 $A B$ 至点C C、延长射线 $O A$ D、延长线段 $A B$ 至点C，使得 $B C = A B$

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9. 下列三个生活，生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用基本事实＂两点确定一条直线＂来解释的现象有

A、①③
B、①②
C、②③
D、③

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10. 如图，已知点A和直线BC，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）

(1)、作射线 C、线段 AB.

(2)、比较大小：AC+BCAB，依据：

(3)、在射线BC上取一点D，使CD=2AB

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11. 如图，根据要求使用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：

(1)、作线段 $A C$ ，射线 $A B$ ，直线 $A D$ ；

(2)、请在直线 $A D$ 上画出一点 $N$ ，使得 $B N + C N$ 的和最小．

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12. 如图，平面内四点 $A, B, C, D$ ，按下列要求作图（保留作图痕迹并标注相关字母）．

（1）画射线 $A B$ ；
（2）画直线 $A C$ ；
（3）连结 $D C$ ，并延长至点 $E$ ，使得 $C E = D C$ ；
（4）在直线 $A C$ 上找一点 $P$ ，使得 $P B + P D$ 最小．

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三、线段初步应用

13. 已知互不重合的A，B，C三点在同一条直线上，且AC=2a+1，BC=a+4，AB=3a，则这三点的位置关系是（）.

A、点A 在B，C 两点之间 B、点B 在A， C、两点之间C.点C 在A，B 两点之间 D、无法确定

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14. 已知点 $A, B$ 在数轴上对应的数为 5 和 9 ，点 $C$ 对应的数为 $c$ ．点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点为 $D$ ，点 $E$ 为线段 $A C$ 的中点，当 $B D + B E = 12$ 时， $c$ 的值为（）

A、-3 或 11
B、-3 或 29
C、29
D、11

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15. 某班50名同学分别站在公路的A，B 两点处，A，B 两点相距1000米，A 处有30人，B处有20人.要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在（）.

A、A 点处 B、线段 AB 的中点处 C、线段AB上，距A 点 $\frac{1000}{3}$ 米处 D、线段AB 上，距A 点 400米处

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16. 在直线上顺次取A，B，C三点，使AB=10cm，BC=4cm.如果点O是线段AC的中点，则线段OB的长度为.

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17. 如图，直线上有五个点A，B，C，D，E，连结其中两点形成的10个距离，从小到大排列依次为：2，4，5，7，8，k，13，15，17，19，那么k的值是.

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18. 已知线段 $A B$ ，点C为线段 $A B$ 上的一个动点（点C不与A、B重合），点D、E分别是 $A C$ 和 $B C$ 的中点

(1)、若 $D E = 5 c m$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、若点C恰好是 $A B$ 的中点，且 $A D = 6 c m$ ，求 $D E$ 的长．

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19. 如图，C、D是线段AB上两点，AC：BC=3：2，点D为AB的中点，AB=30。线段CD长是.

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20. 已知线段AB=m，CD=n，线段CD在直线AB 上运动(点A 在点 B 的左侧，点C在点D的左侧)，且 $∣ m - 12 ∣ + {(6 - n)}^{2} = 0 .$

(1)、求线段AB，CD的长；

(2)、若点 M，N 分别为线段AC，BD 的中点，BC=4，求线段MN的长；

(3)、当CD运动到某一时刻时，点D 与点 B 重合，P是线段AB 延长线上任意一点，有下列两个结论： $① \frac{P A - P B}{P C}$ 是定值， $② \frac{P A + P B}{P C}$ 是定值，请选出正确的结论并求出该定值.

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四、角的初步应用

21. 上午 $6 ： 50$ 时，钟表的分针与时针夹角的度数是（）

A、105度 B、85度 C、95度 D、115度

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22. 已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则下列结论中：①∠EOF=56°；②∠BOE=68°；③∠BOD=22°；④∠AOF=66°．正确的为（　　）

A、①②③ B、②③④ C、①②④ D、①②③④

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23. $23 ° 1 4^{'} 2 4^{″}$ 化为用度表示是．

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24. 如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠COE=∠BOE，点 F 为OE 反向延长线上一点（图中所有角均指小于180°的角），给出下列结论：
①∠AOE=∠DOE；②∠AOD+∠COB=180°；③∠COB-∠AOD=90°；④∠COE+∠BOF=180°.
其中结论正确的是.

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25. 计算：

(1)、 $131 ° 2 8^{'} - 3 2^{'} 1 5^{″}$ ；

(2)、 $58 ° 3 8^{'} 2 7^{″} + 47 ° 4 2^{'} 4 0^{″}$ ．

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26. 如图，点 $O$ 为直线 $A B$ 上一点，过点 $O$ 作射线 $O C$ ，使 $∠ A O C = 60 °$ ，射线 $O P$ 与 $O C$ 位于直线 $A B$ 同侧， $O M$ 平分 $∠ C O P$ ．

(1)、如图，当 $∠ B O P = 10 °$ 时，求 $∠ A O M$ 的度数．

(2)、若 $∠ A O M = 2 ∠ B O P$ ，通过计算判断 $∠ C O M$ 与 $∠ B O P$ 的大小关系，并说明理由．

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27. 如图，已知 $∠ A O C : ∠ A O B = 2 : 3$ ， $O D$ 是 $∠ A O B$ 的角平分线．

(1)、若 $∠ A O B = 120 °$ ，求 $∠ C O D$ 的度数．

(2)、若 $∠ C O D = 21 °$ ，求 $∠ A O B$ 的度数．

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28. 在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60°的角?试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成60°的角?

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29. 如图所示， $∠ A O B = 11 0^{°}$ ，把一块含 $3 0^{°}$ 角 $(∠ C O D = 3 0^{°})$ 三角板与 $∠ A O B$ 摆在同一平面内，且 $3 0^{°}$ 角的顶点与 $∠ A O B$ 顶点 $O$ 重合，OE平分 $∠ A O C, O F$ 平分 $∠ B O D$ ．（本题中的角均大于 $0^{°}$ 且小于 $18 0^{°}$ 的角）

(1)、如图（a）所示，当OB，OC重合，且三角板的另一边OD在 $∠ A O B$ 的外部时，求 $∠ E O F$ 的度数；

(2)、如图（b）所示，把三角板摆放不同位置时，令 $∠ B O C = α (0 < α < 14 0^{°})$ ．在备用图上画图并完成探究：
①探究 $∠ E O F$ 的大小是否改变，若有改变，请直接用含 $α$ 的式子表示 $∠ E O F$ ；若没有改变，请直接写出定值． $∠ E O F =$ ▲ ；
②在三角板摆放的不同位置中，是否存在 $α$ 使得 $∠ B O E = 5 ∠ D O F$ ，若存在，请求出 $α$ 的值，若不存在，请说明理由．

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五、实践探究题

30. 建立模型
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题.

(1)、根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体
顶点数(V)
面数(F)
棱数(E)
四面体
4
4

长方体
8
6
12
正八面体

8
12
正十二面体
20
12
30
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是.

(2)、一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是.

(3)、某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值.

(4)、模型应用
如图，有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形个数.

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31. 某班综合实践小组开展“制作长方体形纸盒”的实践活动.

(1)、【知识准备】
如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有 (只填写序号).

(2)、【制作纸盒】
综合实践小组利用边长为20cm的正方形纸板，按以上两种方式制作长方体形盒子. 如图⑦，先在纸板四角剪去四个同样大小且边长为3cm的小正方形，再沿虚线折合起来，可制作一个无盖长方体形盒子.如图⑧，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，可制作一个有盖的长方体形盒子. 则制作成的有盖盒子的体积是无盖盒子体积的 .

(3)、【拓展探究】
若有盖长方体形盒子的长、宽、高分别为2.5，2，1.5，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形.
①请直接写出你剪开条棱；
②当该长方体形盒子表面展开图的外围的周长最小时，求此时该长方体形盒子表面展开图的外围的最小周长.

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32. 【综合实践】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．
【知识准备】
（1）下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_______；（填序号）
【实践探索】
（2）综合实践小组利用边长为 $a (cm)$ 的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）
①图1方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 $b (cm)$ 的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的底面周长为______ $cm$ （用含a，b的式子表示）；
②图2方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为 $b (cm)$ 的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果 $a = 30 cm$ ， $b = 5 cm$ ．则该长方体纸盒的体积为_____ ${cm}^{3}$ ．
【实践分析】
（3）一个无盖长方体的长、宽、高分别为 $6 cm 、 4 cm 、 3 cm$ ，（它缺一个长为 $6 cm$ ，宽为 $4 cm$ 的长方形盖子），如图是该长方体的一种平面展开图，它的外围周长为 $3 \times 8 + 4 \times 2 + 6 \times 2 = 44 cm$ ．事实上，该长方体的平面展开图还有不少，请你画出该无盖长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出最大外围周长的值．

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33. 【新知理解】
点C在线段 $A B$ 上，若 $B C = 2 A C$ 或 $A C = 2 B C$ ，则称点C是线段 $A B$ 的“优点”，线段 $A C$ ， $B C$ 称作互为“优点”伴侣线段．

例如，图1，线段 $A B$ 的长度为6，点C在 $A B$ 上， $A C$ 的长度为2，则点C是线段 $A B$ 的其中一个“优点”．
（1）若点C为图1中线段 $A B$ 的“优点” $A C = 6 (A C < B C)$ ，则 $A B =$ ______；
（2）若点D也是图1中线段 $A B$ 的“优点”（不同于点C），则 $A C$ ______ $B D$ （填“ $=$ ”或“ $\neq$ ”）
【解决问题】

如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4；
（3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段 $O F$ 的“优点”，求线段 $M N$ 的长；
（4）若点G在线段 $E F$ 的延长线上，且线段 $E F$ 与 $G F$ 互为“优点”伴侣线段，求点G表示的数．

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34. 问题研究：
如图1，已知点 $C$ 、 $D$ （点 $C$ 在左边）在线段 $A B$ （点 $A$ 在左边）上，点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $A C 、 B D$ 的中点．若 $A B = 24, C D = 6$ ，求线段 $M N$ 的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段 $A B$ （点 $A$ 在左边）和线段 $C D$ （点 $C$ 在左边），且线段 $C D$ 在线段 $A B$ 外移动，点 $M$ 、 $N$ 分别是线段 $A C 、 B D$ 的中点．若 $A B = m, C D = n$ ，那么在线段 $C D$ 移动过程中，线段 $M N$ 的长是否会发生变化，若不变化，请用含 $m$ 、 $n$ 的代数式表示 $M N$ 的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知 $∠ C O D = x$ （度）在 $∠ A O B = y$ （度）左侧，若射线 $O E 、 O F$ 分别满足 $∠ C O E = \frac{1}{2} ∠ A O E, ∠ D O F = \frac{1}{2} ∠ B O F$ ，求 $∠ E O F$ 的值（用含 $x$ 、 $y$ 的代数式表示）．

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35.

信息1

小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图1），小颖家车的速度是100千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的1.2倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图2的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车．

信息2

某时刻乙车在甲车前方20千米，此时小刚看到自己手表（图3）显示的时间如图4中表盘所示，OA表示时针，OB表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是∠AOB（0°<∠AOB<180°），表带所在直线为MN ．

根据以上信息回答问题：

(1)、小刚看表时，时针OA和分针OB的夹角∠AOB为°．

(2)、①经过小时，甲车追上乙车；

②甲车刚追上乙车时，此时时针OA和分针OB的夹角∠AOB为°．

(3)、①在表盘中分针OB每分钟转过°，时针OA每分钟转过°；

②自小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，经过分钟后，∠AOB的度数是90° ．

(4)、小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图5），该装置的“表带”所在直线是MN ，装置有三根指针分别为OD、OE和OF ，指针OEOF在转动过程中保持∠EOF=90°，指针OD始终平分∠FON ，指针OF从图5所示位置（OF和射线ON重合）以每秒6°顺时针开始旋转，经过t秒后（0<t<15），OF转到图6位置时，小刚记下此时∠EOD=x°，继续转动m秒（0<m<15），当OF转到图7位置时，小刚记下此时∠EOD=y°，若x-y=21，直接写出m的值

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36.
图1 图2 图3
【问题提出】如图1， $∠ A O B = 2 m ° ， ∠ C O D = m °$ （ $m < 90$ ），OC在 $∠ A O B$ 内，OD在 $∠ A O B$ 外，OM平分 $∠ A O C$ ， ON平分 $∠ B O D$ ，试探究 $∠ M O N$ 和 $∠ A O B$ 的数量关系．

(1)、【问题探究】先将问题特殊化．如图2，若 $m = 60 ， ∠ B O C = 40 °$ ．
①直接写出 $∠ C O M$ 的大小是 ▲ ， $∠ M O N$ 的大小是 ▲ ；
②直接写出 $\frac{∠ M O N}{∠ A O B}$ 的值．

(2)、【问题拓展】再探究一般情形，如图1，证明（1）中②的结论仍然成立

(3)、如图3， $∠ A O B = 90 ° ， ∠ C O D = 45 °$ ，在 $∠ C O D$ 绕着点O旋转一周的过程中，OM平分 $∠ A O C$ ， ON平分 $∠ B O D$ ，当 $∠ B O M = 4 ∠ C O N$ 时，直接写出 $∠ B O C$ 的大小．

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多面体	顶点数(V)	面数(F)	棱数(E)
四面体	4	4
长方体	8	6	12
正八面体		8	12
正十二面体	20	12	30