浙江省杭州第四中学2025-2026学年高三上学期第一次月考（8月）数学试题

试卷更新日期：2025-09-05 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知m，n表示两条不同直线， $α$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α ， n / / α ，$ 则 $m / / n$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n / / α$ D、若 $m / / α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$

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2. 已知 $(x + 1) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{1} + a_{3}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、4 D、 $- 2$

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3. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 8^{x}}{x \cdot a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是偶函数，则 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、2 D、4

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4. 有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（）种停放方法．

A、72 B、144 C、108 D、96

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5. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{1} + 2 n$ ， $a_{10} = 130$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ ，过点 $(0, 4)$ 的直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $P$ ，与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $\vec{C P} \cdot (\vec{C A} + \vec{C B})$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $[0, 2]$ D、 $[0, 2)$

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7. 知名数学教育家单墫曾为中学生写了一个小册子《十个有趣的数学问题》，其中提到了开普勒的将球装箱的方法：考虑一个棱长为2的正方体，分别以该正方体的8个顶点及6个面的中心为球心作半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的球，这些球在正方体内的体积之和与正方体的体积之比为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6} π$

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8. 如图，已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，点 $P$ 是双曲线 $C$ 的渐近线上的一点，点 $M$ 是双曲线 $C$ 左支上的一点.若四边形 $O F P M$ 是一个平行四边形，且 $O M ⊥ O P$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分．

9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $- \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图，则（）

A、 $A = \sqrt{3}$ B、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、函数 $f (x + \frac{π}{3})$ 在 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(0, 2 π)$ 有4个极值点

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10. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A A_{1} = A B$ ，点 $M$ ， $N$ 分别为 $C C_{1}$ 和 $B C$ 的中点，点 $P$ 是棱 $A A_{1}$ 上的一个动点，则下列说法中正确的有（）

A、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M / /$ 平面 $P B C$ B、直线 $P N$ 与 $C C_{1}$ 为异面直线 C、存在点 $P$ ，使得 $B_{1} M ⊥ P N$ D、存在点 $P$ ，使得直线 $P N$ 与平面 $A B C$ 的夹角为45°

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x} - x$ ，设 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 是曲线 $y = f (x)$ 与直线 $y = a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则（）

A、存在实数 $a$ ，使得 $x_{2} - x_{1} > 1$ B、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{1} > 3$ C、存在实数 $a$ ，使得 $x_{3} - x_{2} > 3$ D、对任意实数 $a$ ，都有 $x_{3} - x_{2} > 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 设 $\bar{z}$ 为复数 $z$ 的共轭复数，若复数 $z$ 满足 $z^{2} + z + 3 = 0$ ，则 $z + \bar{z} =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x$ .若曲线 $y = f (x)$ 在点 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与其在点 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 处的切线相互垂直，则 $x_{1} - x_{2}$ 的一个取值为.

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14. 锐角 $△ A B C$ 中， $C = 2 B, B C$ 边上的高为4，则 $△ A B C$ 面积的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 设函数 $f (x) = x^{2} + a x - \ln x (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1]$ 上是减函数，求实数a的取值范围；

(3)、过坐标原点O作曲线 $y = f (x)$ 的切线，证明：切线有且仅有一条，且求出切点的横坐标.

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16. 如图所示，已知三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $C B_{1} ⊥ B B_{1}$ ， $∠ A B B_{1} = ∠ C B B_{1} = 60 °$ ， $A B ⊥ B C$ ， $B B_{1} = 1$ ．

(1)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的余弦值；

(2)、设E、F分别是棱 $A C$ 、 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ，求棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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17. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动，甲､乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛，规定：每一局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局，首先获得5分者获胜，比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是 $\frac{3}{5}$ .

(1)、求比赛结束时恰好打了6局的概率；

(2)、若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列及期望.

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18. 如图，D为圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一动点，过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接 $B A$ 并延长至点W，使得 $|W A| = 1$ ，点W的轨迹记为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若过点 $K (- 2, 0)$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交曲线C于M，N两点，且 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求证：直线MN过定点；

(3)、若曲线C交y轴正半轴于点S，直线 $x = x_{0}$ 与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点．请探究：y轴上是否存在点R，使得 $∠ O R P + ∠ O R Q = \frac{π}{2}$ ？若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．

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19. 定义：若对 $\forall k \in N^{*}, k \geq 2, a_{k - 1} + a_{k + 1} \leq 2 a_{k}$ 恒成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”．

(1)、若 $a_{n} = \sqrt{n^{2} - 1}$ ，判断 $\{a_{n}\}$ 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．

(2)、若 $\{a_{n}\}$ 为“上凸数列”，则当 $m \geq n + 2 (m, n \in N^{*})$ 时， $a_{m} + a_{n} \leq a_{m - 1} + a_{n + 1}$ ．
（ⅰ）若数列 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，证明： $S_{n} \geq \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{i}, \dots, x_{n}$ （ $n$ 为常数且 $n \geq 2, n \in N^{*}$ ），若 $\sum_{i = 1}^{n} \sqrt{x_{i}^{2} - 1} \geq \sqrt{{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - λ)}^{2} - 1}$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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