期中素养综合测试卷提升卷——湘教版（2024）数学八（上）期中分层测（范围：1-3章）

试卷更新日期：2025-09-24 类型：期中考试

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一、选择题

1. $\sqrt{2}$ 的倒数是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $- \sqrt{2}$

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2. 要使 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \geq - 2$ B、 $x \neq 0$ C、 $x \geq - 2$ 且 $x \neq 0$ D、 $x > - 2$ 且 $x \neq 0$

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3. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 2 x y + 4 y^{2}$ B、 $x^{2} - x + \frac{1}{4}$ C、 $x^{2} - 2 x + 1$ D、 $x^{2} + 6 x + 9$

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4. 已知 $m = 1 + \sqrt{2}$ ， $n = 1 - \sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（）

A、9 B、 $\pm 3$ C、3 D、5

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5. 对于分式 $\frac{x - n}{x - m}$ ( $m$ ， $n$ 为常数)，若当 $x \geq 0$ 时，该分式总有意义；当 $x = 0$ 时，该分式的值为负数．则 $m$ ， $n$ 与 $0$ 的大小关系正确的是（）

A、 $m < 0 < n$ B、 $0 < m < n$ C、 $n < 0 < m$ D、 $0 < n < m$

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6. 把多项式 $x^{2} - y^{2} - 2 x - 4 y - 3$ 因式分解之后，正确的结果是( ).

A、(x+y+3)(x-y-1) B、(x+y-1)(x-y+3) C、(x+y-3)(x-y+1) D、(x+y+1)(x-y-3)

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7. 已知 $a^{m} = - 2$ ， $a^{n} = 5$ ，则 $a^{3 m - 2 n}$ 的值为（）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{8}{25}$ D、 $\frac{25}{8}$

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8. 若 $\frac{□}{x + y} \div \frac{x}{y^{2} - x^{2}}$ 运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（）

A、 $y - x$ B、 $y + x$ C、 $\frac{1}{x}$ D、 $3 x$

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9. 已知实数 $a$ 满足 $a^{2} - 2 a - 1 = 0$ ，则代数式 $2 a^{3} - a^{2} - 8 a + 4$ 的值为（）

A、9 B、7 C、0 D、 $- 9$

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10. 化简 $\sqrt{23 - 6 \sqrt{10 + 4 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}}$ 的结果是（）

A、 $3 + \sqrt{2}$ B、 $3 - \sqrt{2}$ C、 $3 + 2 \sqrt{2}$ D、 $3 - \sqrt{2}$

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二、填空题

11. 化简 $\sqrt{{(3.14 - π)}^{2}}$ ＝.

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12. 若分式 $\frac{x - 2}{x + 1}$ 的值为 $0$ ，则 $x$ 的值为.

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13. 已知 $x = 2 \sqrt{3} - 1$ ，则代数式 $x^{2} + 2 x + 2$ 的值为．

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14. 若多项式 $x^{2} + a x + b$ 分解因式的结果为 $(x + 1) (x - 2)$ ，则 $a + b$ 的值为．

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15. 若 $a - b = - 7$ ，则 $a^{2} - b^{2} + 14 b$ 的值是．

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16. 如图，数轴上有四条线段分别标有①，②，③，④，则表示分式 $\frac{3 x + 4}{x + 4} -$ $\frac{x^{2} - 16}{{(x + 4)}^{2}}$ 的值的点应落在数轴的段.（填序号）

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17. 若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} 2 x + 1 < 2 a \\ \frac{2 x - 1}{14} \geq \frac{3}{7} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a}{y - 2} - 3 = \frac{6 - y}{2 - y}$ 有正整数解，则满足条件的所有整数 $a$ 的和为．

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18. 如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足 $a ＜ m ＜ b$ （其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ．例： $2 ＜ \sqrt{5} ＜ 3$ ，所以 $\sqrt{5}$ 的“神奇区间”为 $(2 ， 3)$ ．若某一无理数的“神奇区间”为 $(a ， b)$ ，且满足 $6 ＜ \sqrt{a} + b \leq 16$ ，其中 $x = b$ ， $y = \sqrt{a}$ 是关于x、y的二元一次方程组 $b x + a y = p$ 的一组正整数解，则 $p =$ ．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 $\frac{\sqrt{8} \times \sqrt{36}}{\sqrt{9}} + \sqrt{18}$

(2)、 $\sqrt[3]{- 8} - (202 5^{0} - \sqrt{12})$

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20. 解方程：

(1)、 $\frac{4}{x^{2} - 2 x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x - 2}$ ；

(2)、 $\frac{2}{x - 1} + \frac{x + 2}{1 - x} = 3$

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21. 已知m为整数，试说明 ${(m + 8)}^{2} - {(m - 4)}^{2}$ 一定能被8整除.

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22. 义务献血利国利民，是每个健康公民应尽的义务。一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到市中心血库，且采血和送到血库的时间必须在4小时内完成，超过4小时送达，血液将变质. 已知A、 B两个采血点到中心血库的路程分别为30km、36km，经过了解获得A、B两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一： B采血点运送车辆的平均速度是A采血点运送车辆的平均速度1.2倍；
信息二：A、B两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时.

(1)、求A、B两个采血点运送车辆的平均速度各是多少?

(2)、若B采血点完成采血的时间为2.5小时，判断血液运送到中心血库后会不会变质?

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23. 常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 $x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$ ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
$x^{2} - 4 y^{2} - 2 x + 4 y$
$= (x^{2} - 4 y^{2}) - (2 x - 4 y)$
$= (x + 2 y) (x - 2 y) - 2 (x - 2 y)$
$= (x - 2 y) (x + 2 y - 2)$
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：

(1)、 $m n^{2} - 2 m n + 2 n - 4$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 16$ ；

(3)、 $4 x^{2} - 4 x - y^{2} + 4 y - 3$ ．

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24. 求代数式 $a + \sqrt{a^{2} - 2 a + 1}$ 的值，其中 $a = - 2022$ ．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．
小芳：
解：原式 $= a + \sqrt{（ a - 1)^{2}} = a + 1 - a = 1$ ，
小亮：
解：原式＝ $a + \sqrt{（ a - 1 ）^{2}} = a + a - 1 = - 4045$ ．

(1)、______的解法是错误的；

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = 4 - \sqrt{5}$ ．

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25. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求方程的解；

(2)、如果关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2 x - a}{x - 1} - \frac{1}{1 - x} = 3$ 的解为正数，求 $a$ 的取值范围；

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26. 阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则解得x₁＝a，x₂＝b．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - （ a + b ）$ ，所以关于x的方程x+ $\frac{a b}{x}$ ＝a+b的解为x₁＝a，x₂＝b．

(1)、理解应用：方程 $\frac{x^{2} + 2}{x} = 3 + \frac{2}{3}$ 的解为：x₁＝， x₂＝；

(2)、知识迁移：若关于x的方程x+ $\frac{3}{x}$ ＝5的解为x₁＝a，x₂＝b，求a²+b²的值；

(3)、拓展提升：若关于x的方程 $\frac{4}{x - 1}$ ＝k﹣x的解为x₁＝t+1，x₂＝t²+2，求k²﹣4k+2t³的值．

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二、填空题

三、解答题

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