期中素养综合测试卷基础卷——湘教版（2024）数学八（上）期中分层测（范围：1-3章）

试卷更新日期：2025-09-24 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列根式中是最简二次根式的是（　　）

A、 $\sqrt{8}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{12}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$

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2. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅 $0.00000000034$ 米．数字 $0.00000000034$ 用科学记数法可表示为（）．

A、 $3.4 \times 1 0^{- 10}$ B、 $3.4 \times 1 0^{- 9}$ C、 $3.4 \times 1 0^{- 11}$ D、 $0.34 \times 1 0^{- 9}$

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3. 若分式 $\frac{2 - x}{x + 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq - 5$ B、 $x = 5$ C、 $x \neq 2$ D、 $x = 2$

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4. 如果把 $\frac{x - y}{x + y}$ 中的 $x$ 、 $y$ 都扩大为原来的10倍，则这个代数式的值（）．

A、不变 B、扩大为原来的10倍 C、缩小为原来的10倍 D、扩大为原来的100倍

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5. 下列式子正确的是（）

A、 $\sqrt{49} = \pm 7$ B、 ${(- \sqrt{3})}^{2} = - 3$ C、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ D、 $\sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}$

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6. 下列因式分解正确的是( )

A、 $m (m - n) - n (m - n) = (m - n) (m + n)$ B、 $m^{2} + 4 n^{2} = (m + 2 n)^{2}$ C、 $m^{2} - m n + m = m (m - n)$ D、 $m^{2} - 6 m n + 9 n^{2} = (m - 3 n)^{2}$

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7. 已知 $x^{m} = 2$ ， $x^{n} = 3$ ，则 $x^{3 m - 2 n}$ 的值等于（）

A、0 B、 $- 1$ C、72 D、 $\frac{8}{9}$

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8. 已知 $x = 2$ 是分式方程 $\frac{k}{x} + \frac{x - 1}{x - 3} = 1$ 的解，那么k的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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9. 根据分式的性质，可以将分式 $M = \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - 1}$ （ $m$ 为整数）进行如下变形： $M = \frac{m^{2} - 2 m + 1}{m^{2} - 1} = \frac{m - 1}{m + 1} = \frac{(m + 1) - 2}{m + 1} = 1 - \frac{2}{m + 1}$ ，其中 $m$ 为整数．
结论Ⅰ：依据变形结果可知， $M$ 的值可以为0；
结论Ⅱ：若使 $M$ 的值为整数，则 $m$ 的值有3个．

A、Ⅰ和Ⅱ都对 B、Ⅰ和Ⅱ都不对 C、Ⅰ不对Ⅱ对 D、Ⅰ对Ⅱ不对

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10. 小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（）

A、 $\frac{1}{a - 4}$ B、 $\frac{4}{a + 1}$ C、 $\frac{1}{4 - a}$ D、 $- \frac{1}{a + 1}$

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二、填空题

11. 分式 $\frac{1}{x + y}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} - y^{2}}$ ， $\frac{y}{2 (x - y)}$ 的最简公分母是．

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12. 已知x、y为实数，且 $y = \sqrt{x - 9} - \sqrt{9 - x} + 4$ ．则 $x y$ 的平方根 $=$ ．

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13. 若多项式 $4 x^{2} - m x y + 9 y^{2}$ 能用完全平方公式因式分解，则 $m$ 的值是．

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14. 已知 $\sqrt{2.1} \approx 1.449$ ， $\sqrt{21} \approx 4.573$ ，则 $\sqrt{210} \approx$ .

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15. 设 $4 - \sqrt{3}$ 的整数部分为a，小数部分为b，则 $(a + \sqrt{3}) b$ 的值是．

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16. 已知 $a = {(- 5)}^{2}$ ， $b = {(- 5)}^{- 1}$ ， $c = {(- 5)}^{0}$ ，那么a，b，c之间的大小关系是（用“ $>$ ”或“ $<$ ”连接）

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17. 甲、乙两个同学因式分解 $x^{2} + a x + b$ 时，甲看错了 $b$ ，分解结果为 $(x + 4) (x - 8)$ ，乙看错了 $a$ ，分解结果为 $(x - 2) (x + 6)$ .则 $a =$ ， $b =$ .

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18. 若数m使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x - 2 \leq - x + 4 \\ 7 x + 4 > - m \end{array}$ 有且仅有四个整数解，且使关于x的分式方程 $\frac{m}{2 - x} - 1 = \frac{x}{x - 2}$ 有非负数解，则所有满足条件的整数m的值之和是．

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三、解答题

19. 计算：

(1)、 ${(- 1)}^{2021} + {(π - 3.14)}^{0} \times {(- 2)}^{2} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

(2)、 ${(2 x^{2} y^{- 3})}^{- 2} {(- x y^{2})}^{3} \div {(x^{- 3} y)}^{2}$

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20. 解方程：

(1)、 $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$

(2)、 $\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} = \frac{4}{x^{2} - 1}$

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21. 已知n为正整数，求证： ${(4 n + 3)}^{2} - {(2 n + 3)}^{2}$ 能被24整除.

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22. 临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买 $1$ 个甲套餐比购买 $1$ 个乙套装少用 $40$ 元，用 $450$ 元购买甲套餐和用 $810$ 元购买乙套餐的个数相同．

(1)、求这两种套餐的单价分别为多少元；

(2)、班级计划用 $1800$ 元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进 $1$ 种且刚好用完经费，请你设计进货方案．

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23. 关于 $x$ 的方程 $\frac{1}{x - 2} + 3 = \frac{k - x}{2 - x}$ .
（1）当 $k = 3$ 时，求该方程的解；
（2）若方程有增根，求 $k$ 的值．

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24. 某居民小区有块形状为矩形 $A B C D$ 的绿地，长 $B C$ 为 $\sqrt{128}$ 米，宽 $A B$ 为 $\sqrt{50}$ 米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为 $(\sqrt{13} + 1)$ 米，宽为 $(\sqrt{13} - 1)$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 的周长．（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

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25. $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}} = \sqrt{3} - 1$ ①，
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 还可以用以下方法化简：
$\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ②．

(1)、请用不同的方法化简，参照①式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝；参照②式得 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ＝；

(2)、化简 $\frac{1}{\sqrt{3} + 1} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2 n + 1} + \sqrt{2 n - 1}}$ ．

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26. 我们把形如 $x + \frac{m n}{x} = m + n$ （m，n不为零），且两个解分别为 $x_{1} = m$ ， $x_{2} = n$ 的方程称为“十字分式方程”．
例如 $x + \frac{6}{x} = 5$ 为十字分式方程，可化为 $x + \frac{2 \times 3}{x} = 2 + 3$ ， ∴ $x_{1} = 2$ ， $x_{2} = 3$ ．
再如 $x + \frac{7}{x} = - 8$ 为十字分式方程，可化为 $x + \frac{(- 1) \times (- 7)}{x} = (- 1) + (- 7)$ ．
∴ $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = - 7$ ．
应用上面的结论解答下列问题：

(1)、若 $x + \frac{10}{x} = - 7$ 为十字分式方程，则 $x_{1} =$ ______， $x_{2} =$ ______．

(2)、若十字分式方程 $x - \frac{4}{x} = - 5$ 的两个解分别为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ，求 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1$ 的值．

(3)、若关于x的十字分式方程 $x - \frac{3 k - 2 k^{2}}{x - 1} = 3 k - 2$ 的两个解分别为 $x_{1}, x_{2}$ $(k > 3, x_{1} > x_{2})$ ，求 $\frac{x_{1} + 4}{x_{2}}$ 的值．

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二、填空题

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