甘肃省庆阳市宁县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-10-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（）

A、22 B、30 C、37 D、46

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2. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{3} + a_{8} + a_{13} = 12$ ， $a_{3} a_{8} a_{13} = 28$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式可以为（）

A、 $a_{n} = 4 n - 1$ B、 $a_{n} = 2 n + 1$ C、 $a_{n} = - \frac{3}{5} n + \frac{44}{5}$ D、 $a_{n} = \frac{3}{5} n - \frac{8}{5}$

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3. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} > 0$ ，若 $S_{5} = 5$ ， $S_{15} = 105$ ，则 $S_{20} =$ （）

A、550 B、520 C、450 D、425

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4. 过点 $P (0, - 1)$ 作直线 $l$ ，若直线 $l$ 与连接 $A (- 2, 1)$ ， $B (2 \sqrt{3}, 1)$ 两点的线段总有公共点，则直线 $l$ 的倾斜角范围为（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{6}, \frac{3 π}{4}]$ C、 $[0, \frac{π}{6}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ D、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$

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5. 直线 $l_{1}$ ： $a x - y + 2025 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(3 a - 2) x + a y - 2 a = 0$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、0或1 D、 $\frac{1}{3}$ 或1

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6. 已知直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 7 = 0$ 与直线 $l_{2} : 6 x - (m + 1) y + 1 - m = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 若点 $P (- 1, 2)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} + x + y + m = 0$ 的外部，则m的取值可能为（）

A、5 B、1 C、 $- 4$ D、 $- 7$

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8. 已知线段 $A B$ 的端点B的坐标是 $(3, 4)$ ，端点A在圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 2$

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二、多选题

9. 已知 $S_{n}$ 是 $\{\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a_{2021} = 2$ B、 $S_{2021} = 1012$ C、 $a_{3 n} \cdot a_{3 n + 1} \cdot a_{3 n + 2} = 1$ D、 $\{\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}\}$ 是以 $3$ 为周期的周期数列

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10. 已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{4} = 40$ ， $a_{3} - a_{5} = 30$ ，则（）

A、公比为 $\frac{1}{4}$ B、 $a_{2023} = 16 a_{2025}$ C、当 $n \geq 6$ 时， $a_{n} < \frac{1}{2}$ D、 $\{a_{n}\}$ 的前10项积为1

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11. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 5 m = 0$ 表示的曲线为圆，则实数 $m$ 的值可以为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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三、填空题

12. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的前n项和分别为 $A_{n}$ ， $B_{n}$ ，且 $\frac{A_{n}}{B_{n}} = \frac{2 n - 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ ．

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13. 设直线 $l_{1} : x + 3 y - 7 = 0$ 与直线 $l_{2} : x - y + 1 = 0$ 的交点为P，则P到直线 $l : x + a y + 2 - a = 0$ 的距离的最大值为．

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14. 已知 $△ A B C$ ， $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，第三个顶点C在曲线 $y = 3 x^{2} - 1$ 上移动，则 $△ A B C$ 的重心的轨迹方程是．

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四、解答题

15. 等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{6} = 0$ ， $S_{12} = 6$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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16. 已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $- 3 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} - n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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17. 已知点 $P (2, - 1)$ ，直线 $l : 2 x + y + 2 = 0$ .

(1)、求点P到直线l的距离；

(2)、求点P关于直线l的对称点Q的坐标.

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18. 已知 $⊙ C$ 的圆心在x轴上，经过点 $(1, \sqrt{3})$ 和 $(2, 2)$ ．

(1)、求 $⊙ C$ 的方程；

(2)、过点 $P (3, 1)$ 的直线l与 $⊙ C$ 交于A、B两点．
（ⅰ）若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．

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19. 把满足任意 $x, y \in R$ 总有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ 的函数称为和弦型函数.

(1)、已知 $f (x)$ 为和弦型函数且 $f (1) = \frac{5}{4}$ ，求 $f (0), f (2)$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，定义数列： $a_{n} = 2 f (n + 1) - f (n) (n \in N_{+})$ ，求 ${log}_{2} \frac{a_{1}}{3} + {log}_{2} \frac{a_{2}}{3} + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot {log}_{2} \frac{a_{2024}}{3}$ 的值；

(3)、若 $g (x)$ 为和弦型函数且对任意非零实数 $t$ ，总有 $g (t) > 1$ ．设有理数 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，判断 $g (x_{2})$ 与 $g (x_{1})$ 的大小关系，并给出证明．

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