广东省东莞市第四高级中学2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-11-08 类型：期中考试

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知点 $A (- 3, 1, 4)$ ，则点A关于x轴对称的点的坐标为（）

A、 $(3, - 1, - 4)$ B、 $(1, - 3, 4)$ C、 $(- 3, - 1, - 4)$ D、 $(4, - 1, 3)$

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2. 向量 $\vec{a} = (2 x, 1, 3), \vec{b} = (1, - 2 y, 9)$ ，若 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ ，则（）

A、 $x = y = 1$ B、 $x = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ C、 $x = \frac{1}{6}, y = - \frac{3}{2}$ D、 $x = - \frac{1}{6}, y = \frac{2}{3}$

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3. 已知直线 $l_{1} : a x + y - 2 = 0, l_{2} : 2 x + (a + 1) y + 2 = 0$ ，若 $l_{1}$ $∥$ $l_{2}$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ 或 $2$ B、 $1$ C、 $1$ 或 $- 2$ D、 $- 2$

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4. 直线 $l : x + 2 y + 4 = 0$ 被圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ 截得的弦长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 若方程 $x^{2} + y^{2} + 4 m x - 2 y + 4 m^{2} - m = 0$ 表示一个圆，则实数 m的取值范围是（）

A、 $m < - 1$ B、 $m < 1$ C、 $m > - 1$ D、 $m \geq - 1$

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7. 人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）．

A、 $x^{2} + y^{2} = 144$ B、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 144$ C、 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 169$ D、 ${(x - 4)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 169$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E 、 F$ 分别是棱 $A B 、 B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ ，当 $A_{1}$ 、 $E 、 F 、 C_{1}$ 共面时，直线 $C_{1} F$ 和平面 $A_{1} D E$ 夹角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{30}$ C、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{30}$

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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知圆 $C_{1}^{} : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - a)}^{2} = 9$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 外离，则 $a > 2 \sqrt{3}$ 或 $a < - 2 \sqrt{3}$ B、若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 外切，则 $a = \pm 2 \sqrt{3}$ C、当 $a = 0$ 时，有且仅有一条直线与 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 均相切 D、当 $a = 2$ 时， $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 内含

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10. 如图，边长为1的正方形 $A B C D$ 所在平面与正方形 $A B E F$ 在平面互相垂直，动点 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且 $C M = B N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，则下列结论中正确的有（）

A、 $\exists a \in (0, \sqrt{2})$ ，使 $\vec{M N} = \frac{1}{2} \vec{C E}$ B、线段 $M N$ 存在最小值，最小值为 $\frac{2}{3}$ C、直线 $M N$ 与平面 $A B E F$ 所成的角恒为45° D、 $\forall a \in (0, \sqrt{2})$ ，都存在过 $M N$ 且与平面 $B E C$ 平行的平面

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

11. 点 $P (3, 1)$ 到直线 $x + y - 3 = 0$ 的距离为.

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12. 直线 $l_{1} : 3 x - 4 y + 6 = 0$ 与 $l_{2} : 3 x - 4 y + C = 0$ 间的距离为3，则 $C =$ .

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13. 已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} - 4 x + y^{2} - 6 y + 12 = 0$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ， $M$ ， $N$ 分别是圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，则点 $P$ 到 $M$ ， $N$ 两点的距离之和的最小值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

14. 已知空间三点 $A (- 2, 0, 2), B (- 1, 1, 2), C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}, \vec{b} = \vec{A C} .$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 互相垂直，求实数k的值.

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15. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $P D$ 所成角的余弦值.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点 $A (m, n), B (2, 1), C (- 2, 3)$ .

(1)、求 $B C$ 边所在直线的方程；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积等于7，且点 $A$ 的坐标满足 $2 m - 3 n + 6 = 0$ ，求点 $A$ 的坐标.

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17. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ，点E在棱AB上移动．

(1)、求证： $D_{1} B ⊥ A_{1} D$ ；

(2)、当点E为棱AB的中点时，求点B₁到平面ECD₁的距离；

(3)、当AE为何值时，平面D₁EC与平面AECD所成角为 $\frac{π}{4}$ ？

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18. 已知圆 $C$ 过点 $A (2, 6)$ ， $B (- 1, 3)$ ，且圆心在直线 $y = x + 1$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、设点 $D$ 在圆上运动，点 $E (3, 2)$ ，记 $M$ 为过 $D$ ， $E$ 两点的弦的中点，求 $M$ 的轨迹方程；

(3)、在（2）的条件下，若直线 $D E$ 与直线 $l : y = x - 2$ 交于点 $N$ ，证明： $|E M| \cdot |E N|$ 恒为定值.

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