广东省梅州市梅雁中学2025届高三上学期10月期中考试数学试题

试卷更新日期：2024-10-31 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = \{x| - 1 < x < 1\}, B = \{x| x (x - 2) < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x| - 1 < x < 0\}$ B、 $\{x| 0 < x < 1\}$ C、 $\{x| 1 < x < 2\}$ D、 $\{x| - 1 < x < 2\}$

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2. 若命题“ $\exists x \in R, x^{2} + 2 x + a \leq 0$ ”为真命题，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, 0)$

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3. 已知 $\frac{z}{i} = i - 1$ ，则 $|z| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}, |\vec{b}| = 1$ .若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $cos ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 若 $a = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}$ ， $c = \sin \frac{1}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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6. 已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + a, x < 0 \\ \frac{1}{e^{x}} - \ln (x + 1), x \geq 0 \end{array}$ 在R上单调递减，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[- 1, 0]$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[1, + \infty)$

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7. 已知 $α$ 为第一象限角， $β$ 为第四象限角， $tan α - tan β = 3$ ， $tan α tan β = - 2$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、 $- \frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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8. 已知函数 $f (x) = sin 2 x + a cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = cos x$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、多选题

9. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 20, a_{n + 1} = a_{n} - 4, (n \in N^{*})$ ，则（）

A、4是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 B、当 $S_{n}$ 最大时， $n$ 的值只能取5 C、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 D、 $S_{4} = S_{7}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是周期为 $π$ 的奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{5 π}{6}, \frac{4 π}{3}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域是 $[- 3, 1]$

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11. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (2 - x) + 2 x - 2$ ，且 $f (3) = 2$ ，则（）

A、 $f (- 5) = - 6$ B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、 $f^{'} (101) = 101$ D、 $\sum_{i = 1}^{100} f (i) = 5050$

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三、填空题

12. 已知 $a > 0, b > 0, \frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$ ，若不等式 $2 a + b \geq 9 m$ 恒成立，则 $m$ 的最大值是.

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13. 在边长为2的正三角形 $A B C$ 中，D为BC的中点， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ .

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14. 若过点 $(0, 0)$ 的直线是曲线 $y = x^{2} + 1 (x > 0)$ 和曲线 $y = \ln x - \frac{a}{x + 1} + a$ 的公切线，则 $a =$ ．

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四、解答题

15. 记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b \cos C + c \cos B = \sqrt{2} a \sin A$ .

(1)、求锐角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\sin C = \sqrt{3} \cos C$ ，且 $△ A B C$ 的周长为 $3 + \sqrt{3} + \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {cos}^{2} x + m$ 的最小值为 $- 1$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上的单调递增区间；

(3)、若 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{11}{5}, x_{0} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，求 $cos (2 x_{0} + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 已知 $a, b$ 为实数，函数 $f (x) = e^{x} - a x + b - 1$ （其中 $e = 2.71828 \dots \dots$ 是自然对数的底数）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若对任意的 $x \in R, f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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18. 定义函数 $f_{n} (x) = 1 - x + \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} + \dots + {(- 1)}^{n} \frac{x^{n}}{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求曲线 $y = f_{n} (x)$ 在 $x = - 2$ 处的切线斜率；

(2)、若 $f_{2} (x) - 2 \geq k e^{x}$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围；

(3)、讨论函数 $f_{n} (x)$ 的零点个数，并判断 $f_{n} (x)$ 是否有最小值．（注： $e = 2.71828 \dots$ 是自然对数的底数）

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19. 若至少由两个元素构成的有限集合 $A \subseteq N^{*}$ ，且对于任意的 $x, y \in A (x > y)$ ，都有 $\frac{y^{2}}{x - y} \in A$ ，则称 $A$ 为“ $L -$ 集合”．

(1)、判断 ${1, 2, 4}$ 是否为“ $L -$ 集合”，说明理由；

(2)、若双元素集 $M$ 为“ $L -$ 集合”，且 $4 \in M$ ，求所有满足条件的集合 $M$ ；

(3)、求所有满足条件的“ $L -$ 集合”．

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