甘肃省甘南州卓尼县柳林中学2024-2025学年高二上学期阶段测试（一）数学试卷

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x |y = \lg (x + 1)\}$ ， $B = \{x |x^{2} + x - 2 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ B、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ C、 $\{x |- 2 < x < - 1\}$ D、 $\{x |- 2 < x < 1\}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $\frac{z}{1 - 2 i} = 1 + 3 i$ ，则它的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $- i$

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3. 已知在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} \cdot a_{5} = 16$ ， $a_{4} = 8$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、12 B、14 C、16 D、18

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4. 设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{11} = 121$ ，则 $a_{5} a_{7}$ 的最大值为（）

A、11 B、12 C、121 D、144

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5. 将函数 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得到的函数图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{7 π}{12}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{4}$

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6. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是公比不等于1的等比数列，且 $\lg a_{1} + \lg a_{2023} = 0$ ，若 $f (x) = \frac{2}{1 + x^{2}}$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{2023})$ 等于（）

A、2022 B、4036 C、2023 D、4038

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7. 已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差 $d < 0$ ， $a_{3} a_{5} = 24$ ， $a_{2} + a_{6} = 10$ ，记该数列的前n项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{n}$ 的最大值为（）

A、20 B、24 C、36 D、40

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8. 等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ ， $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n} + T_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 5}{3 n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} =$ （）

A、 $\frac{13}{17}$ B、 $\frac{17}{23}$ C、 $\frac{21}{29}$ D、 $\frac{33}{47}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $T_{n}$ 为等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项积，且 $a_{4} = b_{4} = 2$ ，则（）

A、 $a_{3} a_{5} = b_{3} + b_{5}$ B、 $a_{3} + a_{5} = b_{3} b_{5}$ C、 $S_{7} = 14$ D、 $T_{7} = 128$

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10. 如图所示的几何体出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第 $n$ 层有 $a_{n}$ 个球，从上往下 $n$ 层球的总数为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{n} = \frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $S_{7} = 84$

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11. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n}} = 1, n \in N^{*}$ ，则（　　）

A、 $a_{2022} = 1$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{2022} = 1011$ C、 $a_{1} a_{2} a_{3} \dots a_{2022} = - 1$ D、 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + a_{3} a_{4} + \dots + a_{2022} a_{2023} = - 1011$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$ ，则 $\frac{1}{a_{10}} =$ ．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 的中点，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，若 $\vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = λ \vec{A N}$ ，则 $λ =$ .

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14. 已知四个整数 $a, b, c, d$ 满足 $0 < a < b < c < d$ ．若 $a, b, c$ 成等差数列， $b, c, d$ 成等比数列，且 $d - a = 48$ ，则 $a + b + c + d$ 的值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 正项数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3$ ．

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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16. 某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$

(1)、试估计这1000名用户评分的平均分；

(2)、若采用分层随机抽样的方法从评分在 $[40, 50), [50, 60)$ 内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在 $[40, 50)$ 内的概率.

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17. 已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2, 6 S_{n} = (a_{n} + 2) (a_{n} + 1)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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18. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 、 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{4}{3}$ ， $9 a_{n + 1} = 6 a_{n} - a_{n - 1} (n \geq 2)$ ， $a_{n} = \frac{b_{n}}{3^{n - 1}} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ，并证明： $S_{n} \geq 1$ .

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19. 在数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 中， $b_{1} = 2 a_{1} = 2$ ， $b_{3} + b_{4} = 24$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + b_{n} + \frac{1}{n^{2} + n}$ 且 $\{b_{n}\}$ 为正项等比数列．

(1)、求 $b_{n}$ 的通项公式；

(2)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} < 2^{n + 1} - 2$ ．

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