广东省揭阳市揭东区第三中学2024-2025学年高一上学期10月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-10 类型：期中考试

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集 $U = R$ ，集合 $M = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $N = {x \in R | x > 1}$ ，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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2. 下列四个图形中，不是函数图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知全集 $U = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，集合 $A = {0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $∁_{U} A \cap B =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 2 ， 3}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 3}$

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4. 设集合 $M = {1 ， 2}$ ， $N = {a^{2}}$ ，则“ $a = - 1$ ”是“ $N \subseteq M$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件. C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 已知命题 $p$ ： $\forall x \in R, x^{2} + x + 1 > 0$ ，那么 $\neg p$ 是（）

A、 $\exists x_{0} \in R, {x_{0}}^{2} + x_{0} + 1 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 1 \leq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R, {x_{0}}^{2} + x_{0} + 1 \leq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} + x + 1 < 0$

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6. 已知实数 $a, b$ 满足 $a < b$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} < b^{2}$ C、 $a c < b c$ D、 $a - c < b - c$

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7. 函数 $f (x) = - \frac{1}{x - 2}$ 的单调增区间是（）.

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 2) \cup$ $(2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2)$ ， $(2, + \infty)$

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8. 若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{25 - x^{2}}}{x - | a - x |}$ 为偶函数，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq - 5$ B、 $a > 5$ C、 $- 5 \leq a \leq 5$ D、 $a \leq - 5$ 或 $a \geq 5$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9. 下列关系中，正确的有（）

A、 $\emptyset$ $\begin{matrix} \subset \\ \neq \end{matrix}$ $\{0\}$ B、 $\frac{1}{3} \in Q$ C、 $Q \subseteq Z$ D、 $\emptyset \in \{0\}$

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10. 下面命题正确的是（）

A、“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的充分不必要条件 B、命题“任意 $x < 1$ ，则 $x^{2} < 1$ ”的否定是“存在 $x < 1$ ，则 $x^{2} \geq 1$ ” $.$ C、设 $x ， y \in R$ ，则“ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ”是“ $x^{2} + y^{2} \geq 4$ ”的必要而不充分条件 D、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a \neq 0$ ”是“ $a b \neq 0$ ”的必要不充分条件

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11. 下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 函数 $f (x) = \frac{x + 1}{\sqrt{3 x - 2}} + {(x - 1)}^{0}$ 的定义域为．

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13. 设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 0 \\ x + \frac{6}{x} - 6, x > 0 \end{matrix}$ 则 $f (f (- 2)) =$ ．

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14. 某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 设集合 $A = \{x | 1 \leq x \leq 5\}$ ， $B = \{x | - 1 \leq x \leq 4\}$ .求：

(1)、 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ .

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16. 已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1} (x \neq 1)$ ．
(1)证明 $f (x)$ 在(1，+∞)上是减函数；
(2)当 $x \in [3, 5]$ 时，求 $f (x)$ 的最小值和最大值．

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17. 解答下列各题.

(1)、若 $x > 3$ ，求 $x + \frac{4}{x - 3}$ 的最小值.

(2)、若正数 $x, y$ 满足 $9 x + y = x y$ ，
①求 $x y$ 的最小值.
②求 $2 x + 3 y$ 的最小值.

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18. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = - x^{2} + 4 x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4, a]$ $(a > - 4)$ 上的最小值.

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19. 已知有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}\} (n \geq 2, n \in N)$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，则称 $A$ 为“完全集”.

(1)、判断集合 $\{- 1, - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} + 2\}$ 是否为“完全集”，并说明理由；

(2)、若集合 $\{a, b\}$ 为“完全集”，且 $a$ ， $b$ 均大于 $0$ ，证明： $a$ ， $b$ 中至少有一个大于 $2$ ；

(3)、若 $A$ 为“完全集”，且 $A \subseteq N^{*}$ ，求 $A$ .

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