甘肃省环县第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

试卷更新日期：2024-11-07 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，点 $A (1, 1, 2)$ 关于y轴对称点的坐标为（）

A、 $(1, 1, - 2)$ B、 $(- 1, 1, 2)$ C、 $(- 1, 1, - 2)$ D、 $(1, - 1, 2)$

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2. 数列 $\frac{3}{2}, \frac{5}{4}, \frac{7}{6}, \frac{9}{8}, \cdot \cdot \cdot$ 的一个通项公式可以是（）

A、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2^{n}}$ B、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2^{n}}$ C、 $a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n}$ D、 $a_{n} = \frac{2 n + 1}{2 n}$

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3. 已知直线 $l$ 过点 $A (3, - 2)$ 、 $B (\frac{1}{2}, m)$ ，且直线 $l$ 的方向向量为 $(1, - 1)$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 已知向量 $\vec{n} = (4, 1, 2)$ ，点 $A (- 1, 2, 1)$ ， $B (2, s, t)$ ，且 $\vec{A B} / / \vec{n}$ ，则 $s + t =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{21}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、 $\frac{21}{4}$

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5. 在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 2$ ，公差 $d = 3$ ， $a_{n} = 32$ ，则 $n$ 等于（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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6. 若方程 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y = a$ 表示圆，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 5)$ B、 $(- 5 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 0)$ D、 $(0 ， + \infty)$

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7. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $\vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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8. 数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{2}$ 、 $a_{5}$ 的等差中项为4， $a_{5}$ 、 $a_{8}$ 的等差中项为 $8 \sqrt{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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9. 已知向量 $\vec{O A} = (0, 1, 2), \vec{O B} = (- 1, 0, 1), \vec{O C} = (2, 1, λ)$ ，若 $O, A, B, C$ 共面，则 $\vec{O C}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量的模为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用 $a_{n}$ 表示解下 $n (n \leq 9$ ， $n \in N^{*})$ 个圆环所需移动的最少次数， $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1 (n 为偶数) \\ 2 a_{n - 1} + 2 (n 为奇数) \end{array}$ ，则解下4个圆环最少移动的次数为（）

A、7 B、14 C、5 D、16

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11. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点 $A (0, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 、 $C (1, \sqrt{3})$ ，则 $△ A B C$ 的泰勒圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = \frac{7}{4}$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = \frac{7}{4}$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{7}{12}$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{7}{12}$

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12. 已知点 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (3 ， 2)$ ，过点 $P (0 ， - 2)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 有公共点，若点 $Q (m ， 3)$ 在直线 $l$ 上，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 2] \cup [\frac{15}{4} ， + \infty)$ B、 $[- \frac{15}{4} ， - 2]$ C、 $[2 ， \frac{15}{4}]$ D、 $[- 2 ， \frac{15}{4}]$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

13. 经过点P（1，1），且在两轴上的截距相等的直线可以是（）

A、y=x B、x+y-2=0 C、x+2y-3=0 D、3x-y-2=0

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14. 已知 $P, Q$ 分别为圆 $M : {(x - 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 与圆 $N : {(x + 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上的动点， $A$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|A P| + |A Q|$ 的值不可能是（）

A、 $7$ B、 $8$ C、 $5 \sqrt{5} - 3$ D、 $5 \sqrt{5} - 2$

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15. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的边长为2， $E$ 、 $F$ 、 $G$ 、 $H$ 分别为 $C C_{1} ､ B C ､ C D ､ B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、 $B_{1} G ⊥ E F$ B、 $A_{1} H / /$ 平面 $A E F$ C、二面角 $E - A F - C$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A E F$ 的距离为2

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16. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = 1 - \frac{1}{a_{n}}$ ，记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{2024} = \frac{3}{2}$ B、 $S_{3 n + 1} - S_{3 n} = - \frac{1}{2}$ C、 $a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} = - 1$ D、 $S_{19} = 21$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

17. 已知直线3x＋2y－3＝0和6x＋my＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是．

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18. 已知P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内(含正方体表面)任意一点，则 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的最大值为.

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19. 已加数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{cases} (1 - 5 a) n + 19 a, n \leq 4 \\ 2 a^{n - 3} + 3, n > 4 \end{cases}$ ，若 $\forall n \in N^{*}, a_{n + 1} < a_{n}$ 恒成立.则a的取值范围是．

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20. 若圆 $C_{1} : {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上恰有 $2$ 个点到直线 $l : 4 x - 3 y - 10 = 0$ 的距离为 $1$ ，则实数 $r$ 的取值范围为.

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

21. （1）已知点 $A (2, 4) ､ B (- 3, 2)$ ，求线段 $A B$ 的垂直平分线的方程；
（2）已知直线 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，直线 $l_{2}$ 的倾斜角是直线 $l_{1}$ 倾斜角的2倍，求直线 $l_{2}$ 的斜率.

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22. 如图，已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 A D = A A_{1} = A B = 2$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 4 \vec{M B}$ .

(1)、证明： $A_{1} C_{1} ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度.

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23. 在前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{4} = 2 a_{2} - 2 ， S_{3} = 48$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的首项和公差；

(2)、当 $a_{n} \geq 5$ 时，求 $n$ 的最大值．

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24. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求直线 $A E$ 与 $A_{1} F$ 所成角的大小；

(2)、判断直线 $A_{1} F$ 与平面 $A B F$ 的关系.

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25. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = 3 (n + 1) a_{n}$ ．
（1）设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n}$ ，求证：数列 ${b_{n}}$ 是等比数列；
（2）求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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26. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为梯形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D, ∠ B A D = ∠ C D A = 90^{\circ}$ ， $A D = A B = 1$ ， $C D = 2, E$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、证明：平面 $P B D ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、若二面角 $P - B C - E$ 的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ ，求 $P D$ 的长.

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27. 设正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之和 $b_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积 $c_{n} = b_{1} b_{2} \dots b_{n}$ ，且 $b_{n} + c_{n} = 1$ ．

(1)、求证： $\{\frac{1}{c_{n}}\}$ 为等差数列，并分别求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{a_{n} \cdot b_{n + 1}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，不等式 $S_{n} > \frac{1}{λ} + λ - \frac{13}{6}$ 对任意正整数 $n$ 恒成立，求正实数 $λ$ 的取值范围．

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28. 已知圆M过点 $(- \frac{7}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 且与圆 $N : x^{2} + 8 x + y^{2} - 1 = 0$ 为同圆心，圆N与y轴负半轴交于点C.
（1）若直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x + m$ 被圆M截得的弦长为 $\sqrt{3}$ ，求m的值；
（2）设直线 $l : y = k x + 3$ 与圆M交于点A，B，记 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，若 $x_{1} x_{2} + (y_{1} + 1) (y_{2} + 1) = 12$ ，求k的值.

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