广东省惠州市惠城区惠州中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

试卷更新日期：2024-11-08 类型：期中考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 6 \geq 0}$ ，则下列结论中正确的是

A、 $A \cap B = B$ B、 $A \cup B = A$ C、 $A \subset B$ D、 $∁_{R} A = B$

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2. 复数 $z = - 2 i^{2} - i + 1$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $- 1$ D、 $1$

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3. 已知函数f(x)＝ $\{\begin{cases} x^{2} + 1, x \geq 2 \\ f (x + 3), x < 2 \end{cases}$ 则f(1)－f(3)等于(　　)

A、－7 B、－2 C、7 D、27

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4. 已知 $\cos (x - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos x + \cos (x - \frac{π}{3}) =$

A、 $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $- 1$ D、 $\pm 1$

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5. 已知空间向量 $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $\vec{a}$ B、 $\frac{2}{9} \vec{a}$ C、 $\frac{9}{2} \vec{a}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{9} \vec{a}$

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6. 设点 $A (4, - 3), B (- 2, - 2)$ ，直线 $l$ 过点 $P (1, 1)$ 且与线段 $A B$ 相交，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \geq 1$ 或 $k \leq - 4$ B、 $k \geq 1$ 或 $k \leq - \frac{4}{3}$ C、 $- 4 \leq k \leq 1$ D、 $- \frac{4}{3} \leq k \leq 1$

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7. 方程 $|x| - 1 = \sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}}$ 表示的曲线是（　　）

A、—个圆 B、两个圆 C、一个半圆 D、两个半圆

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8. 已知实数x，y满足 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，则 $\frac{| \sqrt{3} x + y |}{2 \sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (4, 1, 3)$ ，则（）

A、 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ B、 $\vec{c} - \vec{b} = (2, - 1, 2)$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 共面

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10. 已知直线 $l$ ： $y = k x + k + 1$ ，下列说法正确的（）

A、直线 $l$ 过定点 $(1, - 1)$ B、当 $k = 1$ 时， $l$ 关于 $x$ 轴的对称直线为 $x + y + 2 = 0$ C、点 $P (3, - 1)$ 到直线 $l$ 的最大距离为 $2 \sqrt{5}$ D、直线 $l$ 一定经过第四象限

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11. 已知圆M： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（）

A、四边形PAMB周长的最小值为 $2 + 2 \sqrt{3}$ B、 $|A B|$ 的最大值为2 C、若 $P (1, 0)$ ，则 $△ P A B$ 的面积为 $\frac{8}{5}$ D、若 $Q (\frac{\sqrt{15}}{4}, 0)$ ，则 $|C Q|$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分．

12. 已知圆M经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 0)$ ，则圆M的标准方程为．

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13. 已知直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1)$ ，且 $\vec{n} = (\sqrt{2}, 0, \sqrt{2})$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为．

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14. 在平面直角坐标系中，定义 $d (P, Q) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为两点 $P (x_{1}, y_{1})$ ， $Q (x_{2}, y_{2})$ 之间的“折线距离”. 则坐标原点 $O$ 与直线 $2 x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点的“折线距离”的最小值是；圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点与直线 $2 x + y - 2 \sqrt{5} = 0$ 上一点的“折线距离”的最小值是.

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将 $2000$ 名师生的竞赛成绩（满分 $100$ 分）整理成如图所示的频率直方图．

(1)、求频率直方图中 $a$ 的值以及师生竞赛成绩的中位数 $;$

(2)、从竞赛成绩在 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 的师生中，采用分层抽样的方法抽取 $6$ 人，再从抽取的 $6$ 人中随机抽取 $2$ 人，求 $2$ 人的成绩来自同一区间的概率．

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16. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A D = A A_{1} = A B = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ D A B = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $\vec{A_{1} C_{1}} = 3 \vec{N C_{1}}$ ， $\vec{D_{1} B} = 2 \vec{M B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ；

(1)、试用 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 表示 $\vec{M N}$ ；

(2)、求 $M N$ 的长度；

(3)、求直线 $M N$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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17. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x \cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，三个角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $f (A) = 1$ ， $c = 2 a \cdot \cos B$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 已知点 $A (- 1, 2)$ 和直线 $l : x - y + 1 = 0.$ 点 $B$ 是点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点．

(1)、求点 $B$ 的坐标；

(2)、 $O$ 为坐标原点，且点 $P$ 满足 $|P O| = \sqrt{3} |P B|$ ，求点 $P$ 的轨迹方程；

(3)、若（2）中点 $P$ 的轨迹与直线 $x + m y + 1 = 0$ 有公共点，求 $m$ 的取值范围．

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19. 在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E / / B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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